2016 Multi-University Training Contest 9

2016 Multi-University Training Contest 9

HDU 5845 Best Division

题意

• 给(N(1 le N le 10^5))个数(A_i(0 le A_i lt 268435456))，将这(N)个数划分成(K)段，每段的长度不超过(L)，且每段的异或和小于等于(X(0 le X lt 268435456))。
• 求最大的段数(K)。

思路

• (f[i])表示以位置i结尾的最大段数
• (sum[i])表示(A_1 oplus A_2 oplus ... oplus A_i)
• 对于位置i来说，需要在([i - L, i))找到位置j，满足(sum[i] oplus sum[j] le X)使得(f[j])最大。
• 考虑维护一棵01字典树，叶子节点记录对应(sum)值的最大长度，非叶子节点记录子树的最大长度。
• 当查询一个(sum[i])值时：

1. 若对应位置的 (X) 为1，(sum[i])与(sum[j])相等，则(sum[i] oplus sum[j] lt X)，就可以取对应节点的dp值；若(sum[i])与(sum[j])不相等，则要往下走。
2. 若对应位置 (X) 为0，则(sum[i])与(sum[j])必须相等，否则异或和会大于 (X)。

• 因为有 (L) 的限制，所以需要进行删除操作。删除时，只要判断对应(sum)值节点的dp值是否等于当前的(f[i - L - 1])。如果不相等，说明在([i-L, i))中有相等(sum)值，此时这个位置的最大长度最小为(f[i-L-1]+1)，所以在相等的情况下就可以把相应的dp值置为-1。

代码

• hdu_5845

HDU 5847 Different Sums

题意

• 构造一个长为(N(N le 2000))的数组，每个数不超过(3N+18)。
• 任意连续子序列(共(frac{N(N+1)}{2})个)的和均不相同。

思路

• 令前缀和(Sum[i]=2*i*P+frac{i(i+1)}{2}x \% P)，其中(P gt N)，且是质数。
• 证明，设(R[i]=frac{i(i+1)}{2}x \% P，Sum[i]-Sum[j]=Sum[x]-Sum[y])

1. 因为(|R[i]-R[j]| lt P,|R[x]-R[y]| lt P),所以(i-j=x-y)
2. (Sum[i]-Sum[j]=Sum[x]-Sum[y] \ ightarrow (R[i]-R[j])\%P=(R[x]-R[y])\%P \ ightarrow (R[i]-R[j]-R[x]+R[y])\%P=0 \ ightarrow (i^2+i-j^2-j-x^2-x+y^2+y)\%P=0 \ ightarrow (i+j)(i-j)\%P=(x+y)(x-y)\%P \ ightarrow i+j=x+y)
3. 综合1.和2.，可知(i=x,j=y)，即任意连续子序列和均不相等。

代码

• hdu_5847

HDU 5852 Intersection is not allowed!

题意

• 一个(N*N(N le 10^5))的棋盘，有(K(K le 100))个棋子位于((1,a_i))，要走到相应位置((N,b_i))。
• 每个棋子只能往下或往右走。
• 求路径不相交的方案数，对1000000007取模。

思路

• 就是这个定理Lindström–Gessel–Viennot lemma

代码

• hdu_5852

HDU 5854 K-th value

参考

• 2016年多校训练第九场老年选手历险记

题意

• 给一棵(N(N leq 10^5))点的树，每条边有边权(a_i(a_i le 10^9))
• 一条简单路径的权值为(lfloor frac{length}{K} floor + 1)条边的边权(排序过的)，其中(K(1 lt K lt 50))是定值。
• 求路径长度在([L,R])之间的最小路径权值，其中(1 le L le R le 50)。

思路

• 假设最后的答案为(Ans)，路径上边权不超过(Ans)的条数记为(F)，则(length lt KF o KF-length>0)。
• 那么将边权不超过(Ans)的边记为(K-1),否则记为(-1)。用(f[i][j])表示从点i出发走j步的最大和。
• 对于树上的每个节点来说，一种是作为简单路径的端点，这个直接判断即可；一种是作为中间节点，即两条分支，设分别走了(x)步和(y)步，则(L le (x + 1) + (y + 1) le R)，假设(x)从大到小枚举，则(y)越来越大，我们需要取相应范围(max{f[v][y]})，这个可以通过单调队列优化。

代码

• hdu_5854

HDU 5855 Less Time, More profit

题意

• 有(M(M le 200))个商店，每个商店需要一些工厂提供原料以获得收益(pro_i)。注意是需要这些工厂全部建造才能获得收益，而不是只要一个工厂就可以。
• 有(N(N le 200))个工厂，每个工厂需要(t_i)天建造，费用为(pay_i)
• 求最少需要几天使得获得的收益不小于(L)，在天数最少的情况下，求最大收益；如果收益总是小于(L)，则输出"impossible"。

思路

• 当天数确定时，即变成了最大权闭合图模型。
• 天数和收益是正相关的，所以可以二分天数。
• 最大权闭合图：

1. 论文：最小割模型在信息学竞赛中的应用
2. 定义：简单讲，就是如果选了一个点，则它的所有后继节点都要选，权值最大的闭合图即最大权闭合图。
3. 建图：S( o)权值为正的点，流量为权值；原图的边，流量为(infty);权值为负的点( o)T，流量为权值的绝对值。
4. 最大权=正权和-最小割

代码

• hdu_5855