Codeforces Round #372 (Div. 2)

Codeforces Round #372 (Div. 2)

C. Plus and Square Root

题意

• 一个游戏中，有一个数字(x)，当前游戏等级为(k)，有两种操作：

1. '+'按钮：使得(x=x+k)
2. '√'按钮：使得(x=sqrt{x})，此时(x)必须是平方数，游戏等级加1，即(k=k+1)，且(sqrt{x})是(k+1)的倍数。

• 游戏开始时，(x=2,k=1)，输出(n(n le 10^5))个数，表示每个等级对应的(frac{x}{k})值(就是倍数)，并且输出的值不超过(10^{18})。
• 任意时刻，(x)必须是(k)的倍数。

Additionally, after each move, if ZS the Coder is at level k, and the number on the screen is m, then m must be a multiple of k.

思路

• 设$$x=kp=(k+1)^2q2$$
• 则$$p=frac{(k+1)^2q2}{k}$$
  如果令(q=k)，得$$p=k(k+1)^2$$
  这样的倍数显然满足题意。

代码

• C. Plus and Square Root

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D. Complete The Graph

题意

• 一张图有(n(n le 10^3))个点，(m(m le 10^4))条边。
• 每条边有权值（均为正整数），当边权为0时，表示需要重新赋值，使得(s o t)的最短路径长为(L(L le 10^9))。
• 若存在一种方案，输出"YES"和所有边的边权；否则输出"NO"。

思路

• 是否存在可以通过极端情况判断，即将所有0边赋值为1以及全赋值为L。
• 若存在，显然可以二分出权值(x)，使得所有0边均赋值为(x)时，(s o t)的最短路刚好大于或等于(L)。
• 此时我们可以通过将某些边从(x)变成(x-1)使得最短路变成(L)，这样的时间复杂度为(O(NMlog{N}))，是可以解决的。
• 题解提到了一种复杂度更优的做法，大概思想是二分找到第一条0边，使得最短路小于(L)，找到后再二分该边的权值，使得最短路刚好为(L)。

代码

• D. Complete The Graph

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E. Digit Tree

题意

• 给一棵树，有(n(n le 10^5))个点。
• 边有权值(w_i(1 le w_i le 9))。
• 求路径((u,v))使得(u o v)路径构成的大数模(m)为0，其中(gcd(10, m) = 1)。

思路

• 点分治
• 根据欧拉定理$$x^{phi{(m)}}equiv 1(mod verb' 'm), gcd(x, m)=1$$可以求出10的逆元。

代码

• E. Digit Tree