搜索之双向搜索

双向搜索是为了避免在深层子树上浪费时间

有的问题有初态 和 终态

当我们从初态和终态双向搜索时，就相当已经搜索了整个状态空间

来看一个例题吧

达达帮翰翰给女生送礼物，翰翰一共准备了N个礼物，其中第i个礼物的重量是G[i]。

达达的力气很大，他一次可以搬动重量之和不超过W的任意多个物品。

达达希望一次搬掉尽量重的一些物品，请你告诉达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量是多少。

输入格式

第一行两个整数，分别代表W和N。

以后N行，每行一个正整数表示G[i]。

输出格式

仅一个整数，表示达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量。

N <= 46

w <= 2^31 - 1

我们很容易想到背包问题，不过太大导致数组开不了，然后N比较小

如果暴力枚举是2^46肯定超时

不过我们可以采用双向搜索来搞

我们可以统计前一半的所有情况，复杂度是2^23 <=1e7

然后得到的排个序，对后半部分也可以枚举每一种情况，然后在前一半找出最优解可以二分出答案

所以后半部分是2^(N/2)*log(2^N/2)

然后这题还有一个剪枝就是对于枚举的时候超出了w就直接回溯了

还有对于前一半重复的部分去重，也可以减少很多复杂度（去重用unique函数）

然后搜索里必须遵循的从决策数少的开始原则，可以把礼物从大到小排序，这样枚举的时候就使得搜索树深度变小了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 47;
ll G[N],a[1 << 23];

ll sum,w,ans;
int tot,n,cnt,up;

bool cmp(ll x,ll y){
	return x > y;
}

void Dfs1(int cur){
	if(cur == n/2 + 1) {
		a[++tot] = sum;
		return;
	}
	
	sum += G[cur];
	if(sum <= w)
	Dfs1(cur + 1);
	
	sum -= G[cur];
	if(sum <= w)
	Dfs1(cur + 1);
}

void Dfs2(int cur,ll s){
	if(cur == n + 1){
		int l = 1,r = up;
		ll x = 0;
		while(l <= r){
			int m = (l + r) >> 1;
			if(s + a[m] <= w){
				x = a[m];
				l = m + 1;
			}
			else r = m - 1;
		}
		if(s + x <= w) ans = max(ans,s + x);
		return;
	}
	
	if(s + G[cur] <= w) Dfs2(cur + 1,s + G[cur]);
	Dfs2(cur + 1,s);
}

int main(){

	cin >> w >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	cin >> G[i];
	
	sort(G+1,G+n+1,cmp);
	cnt = ans = sum = 0;
	tot = 0;
	
	Dfs1(1);
	
	//cout << ": " << tot << endl;
	sort(a + 1,a + tot + 1);
//	for(int i = 1;i <= tot;i++)
//	cout << a[i] << " ";
//	puts("");
	up = unique(a + 1,a + tot + 1) - (a + 1);
	//cout << up << endl;
	Dfs2(n/2 + 1,0);

	cout << ans << endl;
	return 0;
} 

　　不过这个地方还有个优化，就是数学关系吧

由于我们前半部分是N/2 复杂度是2^(N/2)， 后半部分也是N/2复杂度是2^(N/2)*(log2^(N/2))，所以总的复杂度是2^(N/2)*(log2^(N/2))

后半部分是2^(N/2)*(log2^(N/2))起决定作用

我们如果让前面多搜两个礼物的话 复杂度变为

2^(N/2 + 2)*(log2^(N/2 - 2)是小于2^(N/2)*(log2^(N/2))的使前后的复杂度均衡了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 47;
ll G[N],a[1 << 23];

ll sum,w,ans;
int tot,n,cnt,up;

bool cmp(ll x,ll y){
	return x > y;
}

void Dfs1(int cur){
	if(cur == n/2 + 3) {
		a[++tot] = sum;
		return;
	}
	
	sum += G[cur];
	if(sum <= w)
	Dfs1(cur + 1);
	
	sum -= G[cur];
	if(sum <= w)
	Dfs1(cur + 1);
}

void Dfs2(int cur,ll s){
	if(cur == n + 1){
		int l = 1,r = up;
		ll x = 0;
		while(l <= r){
			int m = (l + r) >> 1;
			if(s + a[m] <= w){
				x = a[m];
				l = m + 1;
			}
			else r = m - 1;
		}
		if(s + x <= w) ans = max(ans,s + x);
		return;
	}
	
	if(s + G[cur] <= w) Dfs2(cur + 1,s + G[cur]);
	Dfs2(cur + 1,s);
}

int main(){

	cin >> w >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	cin >> G[i];
	
	sort(G+1,G+n+1,cmp);
	cnt = ans = sum = 0;
	tot = 0;
	
	Dfs1(1);
	
	//cout << ": " << tot << endl;
	sort(a + 1,a + tot + 1);
//	for(int i = 1;i <= tot;i++)
//	cout << a[i] << " ";
//	puts("");
	up = unique(a + 1,a + tot + 1) - (a + 1);
	//cout << up << endl;
	Dfs2(n/2 + 3,0);

	cout << ans << endl;
	return 0;
} 

　　事实证明确实如此

学到了