CCF CSP 201703-5 引水入城（50分）

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CCF CSP 201703-5 引水入城

问题描述

　　MF城建立在一片高原上。由于城市唯一的水源是位于河谷地带的湖中，人们在坡地上修筑了一片网格状的抽水水管，以将湖水抽入城市。如下图所示：


　　这片管网由 n 行 m 列节点（红色，图中 n = 5，m = 6），横向管道（紫色）和纵向管道（橙色）构成。
　　行和列分别用 1 到 n 的整数和 1 到 m 的整数表示。第 1 行的任何一个节点均可以抽取湖水，湖水到达第 n 行的任何一个节点即算作引入了城市。
　　除第一行和最后一行外，横向相邻或纵向相邻的两个节点之间一定有一段管道，每一段管道都有各自的最大的抽水速率，并需要根据情况选择抽水还是放水。对于纵向的管道（橙色），允许从上方向下方抽水或从下方向上方放水；如果从图中的上方向下方抽水，那么单位时间内能通过的水量不能超过管道的最大速率；如果从下方向上方放水，因为下方海拔较高，因此可以允许有任意大的水量。对于横向的管道（紫色），允许从左向右或从右向左抽水，不允许放水，两种情况下单位时间流过的水量都不能超过管道的最大速率。
　　现在MF城市的水务负责人想知道，在已知每个管道单位时间容量的情况下，MF城每单位时间最多可以引入多少的湖水。

输入格式

　　由于输入规模较大，我们采用伪随机生成的方式生成数据。
　　每组数据仅一行包含 6 个非负整数 n, m, A, B, Q, X₀。其中，n 和 m 如前文所述，表示管网的大小，保证 2 ≤ n, m ≤ 5000；保证 1 ≤ A, B, Q, X₀ ≤ 10⁹。
　　A, B, Q, X₀ 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 { X_i }：
　　X_i+1 = ( AX_i + B) mod Q, (i ≥ 0)
　　我们将数列的第 1 项到第 (n-1)m 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 X_(s-1)m+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s+1 行第 t 列管道单位时间的容量；将数列的第 (n-1)m+1 项到第 (n-1)m+(n-2)(m-1) 项（即接下来的 (n-2)(m-1) 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 X_{(n-1)m+(s-2)(m-1)+t} 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s 行第 t+1 列管道单位时间的容量。

输出格式

　　输出一行一个整数，表示MF城每单位时间可以引入的水量。
　　注意计算过程中有些参数可能超过32位整型表示的最大值，请注意使用64位整型存储相应数据。

样例输入

3 3 10 3 19 7

样例输出

38

样例说明

　　使用参数得到数列 { X_i }={ 7, 16, 11, 18, 12, 9, 17, 2, 4, … }，按照输入格式可以得到每个管道的最大抽水量如下图所示：


　　在标准答案中，单位时间可以引水 38 单位。所有纵向管道均向下抽水即可，不需要横向管道抽水，也不需要向上放水。

样例输入

2 5 595829232 749238243 603779819 532737791

样例输出

1029036148

样例输入

5 2 634932890 335818535 550589587 977780683

样例输出

192923706

样例输入

5 5 695192542 779962396 647834146 157661239

样例输出

1449991168

评测用例规模与约定

　　共有10组评测数据，每组数据的参数规模如下所示：

测试点编号	n	m
1	=2	=1000
2	=1000	=2
3	=1000	=2
4	=5	=5
5	=10	=10
6	=100	=100
7	=500	=500
8	=1000	=1000
9	=2000	=2000
10	=5000	=5000

解析

这是一个最大流的问题，湖是源，城市是汇。

下面实现了ford-fulkerson算法，只能通过50%的数据。

有更好的方法求告知！

代码

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <utility>
#include <climits>
using namespace std;

long long A, B, Q, X;
int numVertex;
 
int nextRandom() {
    X = (A * X + B) % Q;
    return X;
}

struct Edge {
    int v; // vertex
    int w; // weight
    Edge(int v_, int w_) : v(v_), w(w_) {}
};

bool bfs(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t, vector<pair<int,int> > &parents) {
    queue<int> q;
    vector<bool> visited(numVertex);
    q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for(int i=0; i<rgraph[u].size(); i++) {
            int v = rgraph[u][i].v;
            if(!visited[v] && rgraph[u][i].w>0) {
                visited[v] = true;
                parents[v] = make_pair(u,i);
                q.push(v);
                if(v == t) return true;
            }
            
        }
    }
    return false;
}

long long fordFulkerson(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t) {
    long long maxFlow = 0;
    vector<pair<int,int> > parents(numVertex);
    while(bfs(rgraph, 0, 1, parents)) {
        int pathFlow = INT_MAX;
        for(int v=t; v!=s; ) {
            int u=parents[v].first;

            int ui = parents[v].second;
            pathFlow = min(pathFlow, rgraph[u][ui].w);
            v = u;
        }
        maxFlow += pathFlow;
//        cout << pathFlow << " " << maxFlow << endl;
        for(int v=t; v!=s; ) {
            int u = parents[v].first;
            int ui = parents[v].second;
            if(rgraph[u][ui].w!=INT_MAX) rgraph[u][ui].w -= pathFlow;
            int vi = -1;
            for(int i=0; i<rgraph[v].size(); i++) {
                if(rgraph[v][i].v == u) {
                    vi = i;
                }
            }
            if(vi!=-1 && rgraph[v][vi].w!=INT_MAX) rgraph[v][vi].w += pathFlow;
            v = u;
        }
    }
    return maxFlow;
}

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M >> A >> B >> Q >> X;
    numVertex = N * M + 2;
    // 0:source, 1:sink, 
    vector<vector<Edge> > graph(numVertex, vector<Edge>());
    
    int offset = 2;
    // construct graph
    for(int n=0; n<N-1; n++) {
        for(int m=0; m<M; m++) {
            int from = n*M+m+offset;
            int to = from+M;
            nextRandom();
            graph[from].push_back(Edge(to, X));
            graph[to].push_back(Edge(from, INT_MAX));
        }
    }
    
    for(int m=0; m<M; m++) {
        int from = 0;
        int to = m+offset;
        graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));
    }
    
    for(int m=0; m<M; m++) {
        int from = (N-1)*M+m+offset;
        int to = 1;
        graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));
    }
    
    long long maxFlow = 0;

    for(int n=1; n<N-1; n++) {
        for(int m=0; m<M-1; m++) {
            int from = n*M+m+offset;
            int to = from+1;
            nextRandom();
            graph[from].push_back(Edge(to, X));
            graph[to].push_back(Edge(from, X));
        }
    }
    
    maxFlow += fordFulkerson(graph, 0, 1);
    
    cout << maxFlow;
}