CF GYM100548 （相邻格子颜色不同的方案数 2014西安现场赛F题 容斥原理）

n个格子排成一行，有m种颜色，问用恰好k种颜色进行染色，使得相邻格子颜色不同的方案数。

integers n, m, k (1 ≤n, m ≤ 10^9, 1 ≤ k ≤ 10^6, k ≤ n, m).

m种颜色取k种 C(m, k) 这个可以放最后乘 那么问题就变成只用k种颜色
第一个格子有k种涂法 第二个有k-1种 第三个也是k-1种

一共就是k*(k-1)^(n-1) 这种算法仅保证了相邻颜色不同，总颜色数不超过k种，并没有保证恰好出现k种颜色 也就是多算了恰好出现2种 恰好出现3种.... 恰好出现k-1种

我们本来是要求 恰好用k的种 现在又要求恰好出现k-1种
那么就是 （k-1）*(k-2)^(n-1) 然后这个也是多算了一些情况的
以此类推 然后就可以用容斥原理

比如有5种颜色，选4种 就是

C(5, 4) * （C(4, 4)*4*3^4 - C(4, 3)*3*2^4 + C(4, 2)*2*1^4）

Sample Input

2
3 2 2// n m k
3 2 1
Sample Output

Case #1: 2
Case #2: 0

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <string>
# include <cmath>
# include <queue>
# include <list>
# define LL long long
using namespace std ;

const int MOD = 1000000007 ;

int n , m  , k ;
LL CM ;
LL CK[1000010] ;
LL INV[1000010] ;


LL pow_mod(LL p, LL k)
{
    LL ans = 1;
    while(k) {
        if (k & 1) ans = ans * p % MOD;
        p = (LL)p*p % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

LL Ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){  //扩展欧几里德
   if(a==0&&b==0) return -1;
   if(b==0) { x=1, y=0; return a; }
   LL d= Ext_gcd(b,a%b,y,x);
   y-= a/b*x;
   return d;
}
//ax = 1(mod m)
LL Inv(LL a,LL m){   //求逆元  a对m的逆元
   LL d,x,y,t = m;
   d= Ext_gcd(a,t,x,y);
   if(d==1) return (x%t+t)%t;
   return -1;
}


LL Cm(LL n, LL m, LL p)  //求组合数
{
    LL a=1, b=1;
    if(m>n) return 0;
    while(m)
    {
        a=(a*n)%p;
        b=(b*m)%p;
        m--;
        n--;
    }
    return (LL)a*Inv(b,p)%p;  //（a/b）%p 等价于 a*（b，p）的逆元
}

int Lucas(LL n, LL m, LL p)  //把n分段递归求解相乘
{
    if(m==0) return 1;
    return (LL)Cm(n%p,m%p,p)*(LL)Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

void init()
{
    INV[1] = 1 ;
    int i ;
    for (i = 2 ; i < 1000010 ; i++)
        INV[i] = Inv(i,MOD) ;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin) ;
    int T ;
    scanf("%d" , &T) ;
    int Case = 0 ;
    init() ;
    while(T--)
    {
        Case++ ;
        scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;
        if (n == 1)
        {
            printf("Case #%d: %d
", Case , m);
            continue ;
        }
        int i ;
        CM = Cm(m,k,MOD) ;
        CK[0] = 1 ;
        for (i = 1 ; i <= k ; i++)
            CK[i] = (CK[i-1] * (k-i+1)%MOD * INV[i])%MOD ;
        LL ans = 0 , t = 1 ;
        for (i = k ; i >= 2 ; i--)
        {
            ans = (ans + t*CK[i]*i%MOD*pow_mod(i-1,n-1)%MOD+MOD)%MOD ;
            t *= -1 ;
        }
        printf("Case #%d: %I64d
",Case,ans*CM%MOD);

    }
    return 0;
}