线性反馈移位寄存器与梅森旋转算法

今天主要是来研究梅森旋转算法，它是用来产生伪随机数的，实际上产生伪随机数的方法有非常多种，比方线性同余法，

平方取中法等等。可是这些方法产生的随机数质量往往不是非常高，而今天介绍的梅森旋转算法能够产生高质量的伪随

机数，而且效率高效，弥补了传统伪随机数生成器的不足。梅森旋转算法的最长周期取自一个梅森素数，由

此命名为梅森旋转算法。常见的两种为基于32位的MT19937-32和基于64位的MT19937-64。

 

因为梅森旋转算法是利用线性反馈移位寄存器（LFSR）产生随机数的，所以我们先来认识线性反馈移位寄存器。

 

首先，移位寄存器包含两个部分

    （1）级，每一级包括一个比特，比方11010110是一个8级的移位寄存器产生的

    （2）反馈函数，线性反馈移位寄存器的反馈函数是线性的，非线性反馈移位寄存器的反馈函数是非线性的

 

一个级的移位寄存器产生的序列的最大周期为，当然这个最大周期跟反馈函数有非常大关系，线性反馈函数实

际上就是这个级的移位寄存器选取“某些位”进行异或后得到的结果，这里的“某些位”的选取非常重要，得到线性反

馈函数之后，把这个移位寄存器的每次向右移动一位，把最右端的作为输出，把“某些位”的异或结果作为输入放到最

左端的那位，这样全部的输出相应一个序列，这个序列叫做M序列，是最长线性移位寄存器序列的简称。

 

上面“某些位”的选取问题还没有解决，那么应该选取哪些位来进行异或才干保证最长周期为，这是一个非常重要

的问题。选取的“某些位”构成的序列叫做抽头序列，理论表明，要使LFSR得到最长的周期，这个抽头序列构成的多

项式加1必须是一个本原多项式，也就是说这个多项式不可约，比方。

 

以下以一个4位的线性反馈移位寄存器为例说明它的工作原理。

 

假设的值各自是1 0 0 0，反馈函数选取，那么得到例如以下序列

 

   

   

 

能够看出周长为15。在这一个周期里面涵盖了开区间内的全部整数，而且都是没有固定顺序出现的，有非常好

的随机性。

 

之前说过，梅森旋转算法的周期为，那么说明它是一个19937级的线性反馈移位寄存器，实际上基于32位

的MT19937-32仅仅须要用到32位，那么为什么要选择周长为的算法呢？ 那是由于这样做随机性非常好。

梅森旋转算法是基于线性反馈移位寄存器的一直进行移位旋转，周期为一个梅森素数，果然是名副其实。

 

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

using namespace std;

bool isInit;
int index;
int MT[624];  //624 * 32 - 31 = 19937

void srand(int seed)
{
    index = 0;
    isInit = 1;
    MT[0] = seed;
    for(int i=1; i<624; i++)
    {
        int t = 1812433253 * (MT[i-1] ^ (MT[i-1] >> 30)) + i;
        MT[i] = t & 0xffffffff;   //取最后的32位
    }
}

void generate()
{
    for(int i=0; i<624; i++)
    {
        // 2^31 = 0x80000000
        // 2^31-1 = 0x7fffffff
        int y = (MT[i] & 0x80000000) + (MT[(i+1) % 624] & 0x7fffffff);
        MT[i] = MT[(i + 397) % 624] ^ (y >> 1);
        if (y & 1)
            MT[i] ^= 2567483615;
    }
}

int rand()
{
    if(!isInit)
        srand((int)time(NULL));
    if(index == 0)
        generate();
    int y = MT[index];
    y = y ^ (y >> 11);
    y = y ^ ((y << 7) & 2636928640);
    y = y ^ ((y << 15) & 4022730752);
    y = y ^ (y >> 18);
    index = (index + 1) % 624;
    return y;
}

int main()
{
    srand(0);  //设置随机种子
    int cnt = 0;
    for(int i=0; i<1000000; i++)
    {
        if(rand() & 1)
            cnt++;
    }
    cout<<cnt / 10000.0<<"%"<<endl;
    return 0;
}

 

实际上在非常多语言中的随机数函数都已经採用了梅森旋转法实现，比方Python中的随机数模块random就是採用了梅

森旋转算法来产生伪随机数列，C++11中也有梅森旋转算法实现的随机数生成器。

 

梅森旋转算法在信息指纹技术中的应用

 

在百度或者Google这种搜索引擎中，爬虫要对爬取的网页进行判重，这个是通过信息指纹来实现的。详细来说就

是把每个网址随机地映射到128位二进制，这样每个网址仅仅占用16个字节的空间，这个128位的随机数就是这个

网址的信息指纹，能够证明，仅仅要产生的随机数足够好，那么就能够保证差点儿不可能有两个网址的信息指纹同样，就

如同不可能有两个人的指纹同样一样，而梅森旋转算法是产生高质量伪随机数的算法。