大背包问题（01背包）

大背包问题：有n一个重量和价格值分别w[i]和v[i]项目。出的这些产品中的总重量不超过W项目。查找所有选定的方案价格值的最大总和值。

其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.

这个问题给人的第一感觉就是普通的01背包。

只是，看完数据范围会发现。这次价值和重量都能够是很大的数值，相比之下n比較小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决问题。此时我们应该利用n比較小的特点来寻找其它方法。

挑选物品的方案总共同拥有2^n种，所以不能直接枚举，可是假设将物品分成两半再枚举的话。因为每部分最多仅仅有20个。这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法相应的重量和价值总和记为w1、v1，这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法就可以。

因此，我们要思考从枚举得到的（w2，v2）集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W'}的方法。首先，显然我们能够排除全部w2[i] ≤ w2[j] 而且 v2[i] >= v2[j]的j。

这一点能够依照w2、v2的字典序排序后做到。

此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]。要计算max{v2|w2 <= W'}的话，仅仅要寻找满足w2[i] <= W'的最大的i就能够了。这能够用二分搜索完毕。剩余的元素个数为M的话，一次搜索须要O(logM)的时间。由于M≤2^(n/2)，所以这个算法总的时间复杂度是O(n * 2^(n/2))，能够在实现内解决这个问题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50;
const long long INF = 0x3fffffff;
typedef long long LL;
int n;
LL w[N], v[N];
LL W;
pair <LL, LL> pi[1 << (N / 2)];

void solve() {
    int n2 = n / 2;
    for(int i = 0; i < (1 << n2); i++) {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for(int j = 0; j < n2; j++) {
            if((i >> j) & 1) {
                sw += w[j];
                sv += v[j];
            }
        }
        pi[i] = make_pair(sw, sv);
    }

    sort(pi, pi + (1 << n2));
    int m = 1;
    for(int i = 1; i < (1 << n2); i++) {
        if(pi[m-1].second < pi[i].second) {
            pi[m++] = pi[i];
        }
    }

    LL res = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << (n - n2)); i++) {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for(int j = 0; j < n - n2; j++) {
            if((i >> j) & 1) {
                sw += w[n2 + j];
                sv += v[n2 + j];
            }
        }
        if(sw <= W) {
            LL tv = (lower_bound(pi, pi + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;
            res = max(res, sv + tv);
        }
    }
    printf("%lld
", res);
}

int main() {
    while(~scanf("%d%lld", &n, &W)) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);
        }
        solve();
    }
    return 0;
}

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