[数字图像处理]图像去噪初步(2)--非线性滤波器

1.非线性处理与线性处理的差别

    上一篇博文的内容，是关于均值滤波器的。比方说像算术均值滤波器，几何均值滤波器。这以类型的滤波器的经常被用于剔除某些不须要的频率成分，或者选择须要的频率成分，从而达到去噪的目的。这种滤波器，被称为线性滤波器。

    然而，另一些特殊滤波器，他们被称为非线性滤波器。其代表为中央值滤波器。所谓中央值滤波器，就是将一定范围内的数据(对于图像而言，是像素的灰度值)进行排序，选择中央值作为滤波器的输出。

    中央值滤波器的目的并非频率成分的选择，而是求root信号。关于root信号的定义，[文献1]中是这样给出的。

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定义：对于随意信号，使用中央值滤波器进行有限次处理，直到所得到的限号不变为止。中央值滤波器处理前后，假设这个信号列没有不论什么变化，那么将这个信号列称为这个滤波器的root信号。

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    对于中央值滤波器来讲，能够完美去除被椒盐噪声污染的root信号。对于root信号，有例如以下的性质。对于下面定理的证明与具体说明，请參考[文献2][文献3]。

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定理1：假设信号列{x(i)}是单调递增或单调递减的，那么对于不论什么尺寸的中央值滤波器，这个信号列都是root信号。

定理2：假设信号列{x(i)}是在从i開始的m个信号之间的局部单调信号的话，那么对于尺寸为N=2M+1(M<=m-2)的中央值滤波器，这种信号为这个滤波器的root信号。

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2.几个典型的非线性滤波器

    2.1 中央值滤波器 (Median Filter)

    正如第一节所叙述的，中央值滤波器能够有效去除椒盐噪声，而且不会使得图像模糊。我们将一副图像染上椒盐噪声，然后使用不同尺寸的中央值滤波器去进行处理。所得的结果的画质使用SSIM去评价。

    首先，将图像染上盐粒密度为0.15，胡椒密度为0.15的椒盐噪声，使用3x3,5x5,7x7和9x9四种不同尺寸的中值滤波器去处理图像。所得到的结果，例如以下表所看到的。

由上图所看到的，能够看出，所用滤波器尺寸不同，得到的结果是不同的，尺寸较大的滤波器得到了不太好的结果。随着循环次数的添加，图像的SSIM逐渐变化，最后趋近于稳定。以下是循环次数为30时候，4种尺寸滤波器得到的结果。

     为了验证噪声与实验结果的影响，将图像染上盐粒密度为0.35，胡椒密度为0.35的椒盐噪声，在进行滤波实验，能够得到例如以下曲线。

     实验结果给出，尺寸较小的的中值滤波器，其收敛到root信号较为缓慢，其次，对于高噪声的图像，其修复结果是不太好的。

     总结上述实验，能够得到三个实用的结论。

     1.中央值滤波器在处理过程中，不断在寻找root信号。重复数回之后，其结果收敛，基本不改变。

     2.对于不同的图像，不同的噪声，最适合本幅图像的中央值滤波器的尺寸是不同的。并非尺寸越小越好。

     3.尺寸小的滤波器，收敛速度慢。反之，尺寸大的滤波器，收敛较快。

     2.2 自适应中央值滤波器 

    我们要非常好的使用中央值滤波器，仅仅有一个要点！就是找一个最适合的滤波器尺寸，使得原图就是这个滤波器的root信号，那么，就能够得到一个完美的结果（当然，最适合的滤波器是不存在的）。那么，这里就能够有个想法了，在运行滤波器操作的时候，尽可能多的尝试各种尺寸，选择一个最适合的，让原图非常接近这个尺寸的滤波器的root信号。这种话，就能够得到一个不错的结果了。

    当然，之对于椒盐噪声的话，还能够增加这样一个功能，因为噪声的灰度值是已知的(盐粒噪声为1，胡椒噪声0)，那么仅仅有其中央值不是0或者1的时候，滤波器生效，否则，扩大滤波器尺寸。

    归纳上述思想，能够得到例如以下的伪代码。

START:   S_xy = read(f(x,y),[size_S_xy]);
 z_min = min(S_xy);
 z_max = max(S_xy);
 z_med = median(S_xy);
LOOP A :  A_1 = z_med - z_min;
          A_2 = z_med - z_max;
          
          if  ((A_1 >0) and (A_2 < 0))  
               goto LOOP B;
          else  size_S_xy++; 
               goto START;
          
          if  (size_S_xy <= size_max)
               g(x,y) = z_med;    
               goto NEXT;

LOOP B :  B_1 = f(x,y) - z_min;
          B_2 = f(x,y) - z_max;

          if  ((B_1 >0) and (B_2 < 0))  
               g(x,y) =  f(x,y) ;    
               goto NEXT;
          else  g(x,y) = z_med;  
               goto NEXT;

NEXT :    x,y移动到下一个像素点
          if (x > x_max)and(y>y_max)
              return;
　　　　　else goto START;

     来看看这个滤波器的效果，将图像加一个非常强的噪声椒盐噪声。盐粒密度为0.3，胡椒密度为0.3。同一时候将相同的图像，使用5x5的中央值滤波器。两个滤波器的不同，还是非常easy看出来的。

      2.3 最大值滤波器与最小值滤波器

      最大值滤波器与最小值滤波器这两个滤波器，跟中央值滤波器有些类似。相同是一个目的，用于寻找root信号，仅仅只是，最大值滤波器能够用于去除盐粒噪声，相反，最小值滤波器能够用于取出胡椒噪声。相同的，最大值与最小值滤波器不适用于去除，同一时候含有盐粒噪声与胡椒噪声的图片。

      因为这个非常easy，结果就不贴了。

     2.4 中点滤波器(midpoint filter)

     中点滤波器，糅合了均值滤波器和非线性的排序处理。这种滤波器对于去除高斯噪声与均匀噪声有非常好的效果。

我们使用这个滤波器，与平均滤波器做个比較吧。其结果显示在下图。

    图片上，纵轴表示画质SSIM，横轴表示噪声的方差。绿线表示中点滤波器，红线表示算术滤波器。能够看出，均匀噪声上，中点滤波器的性能还是优于算术平均滤波器的。(当然，这可能跟选用的评价图像有关，可是基本是这个趋势)。

    2.4 修正的阿尔法均值滤波器

    从非常小的时候開始，对唱歌节目就有这种一个映像，评委打分的时候，总是要去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后求均值。这个是个什么样的原理呢？事实上这是一个非常典型的滤波器，能够更好的反应一个选手的水平。

    在图像处理领域，也有一个类似的处理方法，其表达式例如以下。

    

简单的理解一下这个滤波器，首先，我们将滤波范围 的个数据进行排序，从大到下的顺序去除个数据，从小到大的顺序去除个数据。将剩下的数据计算均值。

    这种滤波器，非常擅长去除椒盐噪声与其它类型噪声一起污染过的图片。依旧是实验，首先将图片染上盐粒密度为0.1，胡椒密度为0.1的椒盐噪声。然后，再将这幅图像染上高斯噪声。在将图片进行去噪。得到的结果例如以下所看到的。

    能够出，对于复数的噪声，这种滤波器的效果是最好的。

3.自适应中值滤波器的Matlab代码

     因为本次代码都比較简单，主要是概念上的理解，所以，代码我也就贴个自适应滤波器的代码就完事吧！

     下一篇博文，会说到去卷积处理。

參考文献

[文献1]非線形ディジタル信号処理  ,棟安実治 ・田口亮 著,システム制御情報学会,朝倉書店,1999年03月20日
[文献2]Tyan, S. G. "Median filtering: Deterministic properties." Two-Dimensional Digital Signal Prcessing II. Springer Berlin Heidelberg, 1981. 197-217.
[文献3]Gallagher Jr N C, Wise G L. A theoretical analysis of the properties of median filters[J]. Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on, 1981, 29(6): 1136-1141.

原文发于博客：http://blog.csdn.net/thnh169/ 

=============更新日志===================

2014 - 7 - 17       修正了一些格式错误