NOI 2015 品酒大会

#131. 【NOI2015】品酒大会

一年一度的“幻影阁夏日品酒大会”隆重开幕了。大会包含品尝和趣味挑战 两个环节，分别向优胜者颁发“首席品酒家”和“首席猎手”两个奖项，吸引了众多品酒师参加。

在大会的晚餐上，调酒师 Rainbow 调制了 n 杯鸡尾酒。这 n 杯鸡尾酒排成一行，其中第 n 杯酒 (1 ≤ i ≤ n) 被贴上了一个标签si，每个标签都是 26 个小写 英文字母之一。设 str(l, r)表示第 l 杯酒到第 r 杯酒的 r − l + 1 个标签顺次连接构成的字符串。若 str(p, po) = str(q, qo)，其中 1 ≤ p ≤ po ≤ n, 1 ≤ q ≤ qo ≤ n, p ≠ q, po − p + 1 = qo − q + 1 = r ，则称第 p 杯酒与第 q 杯酒是“ r 相似” 的。当然两杯“ r 相似”(r > 1)的酒同时也是“ 1 相似”、“ 2 相似”、……、“ (r − 1) 相似”的。特别地，对于任意的 1 ≤ p , q ≤ n ， p ≠ q ，第 p 杯酒和第 q 杯酒都 是“ 0 相似”的。

在品尝环节上，品酒师 Freda 轻松地评定了每一杯酒的美味度，凭借其专业的水准和经验成功夺取了“首席品酒家”的称号，其中第 i 杯酒 (1 ≤ i ≤ n) 的 美味度为 ai 。现在 Rainbow 公布了挑战环节的问题：本次大会调制的鸡尾酒有一个特点，如果把第 p 杯酒与第 q 杯酒调兑在一起，将得到一杯美味度为 ap*aq 的 酒。现在请各位品酒师分别对于 r = 0,1,2, ⋯ , n − 1 ，统计出有多少种方法可以 选出 2 杯“ r 相似”的酒，并回答选择 2 杯“ r 相似”的酒调兑可以得到的美味度的最大值。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 1个正整数 n，表示鸡尾酒的杯数。

第 2 行包含一个长度为 nn 的字符串 S，其中第 ii 个字符表示第 ii 杯酒的标签。

第 3 行包含 n 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，其中第 ii 个整数表示第 ii 杯酒的美味度 aiai。

输出格式

输出文件包括 nn 行。第 ii 行输出 22 个整数，中间用单个空格隔开。第 11 个整数表示选出两杯“(i−1)(i−1)相似”的酒的方案数，第 22 个整数表示选出两杯“(i−1)(i−1)相似”的酒调兑可以得到的最大美味度。若不存在两杯“(i−1)(i−1)相似”的酒，这两个数均为 00。

样例一

input

10
ponoiiipoi
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

output

45 56
10 56
3 32
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0

explanation

用二元组 (p,q)(p,q) 表示第 pp 杯酒与第 qq 杯酒。

0 相似：所有 45  对二元组都是 00 相似的，美味度最大的是 8×7=568×7=56。

1 相似：(1,8)(1,8) (2,4)(2,4) (2,9)(2,9) (4,9)(4,9) (5,6)(5,6) (5,7)(5,7) (5,10)(5,10) (6,7)(6,7) (6,10)(6,10) (7,10)(7,10)，最大的 8×7=568×7=56。

2  相似：(1,8)(1,8) (4,9)(4,9) (5,6)(5,6)，最大的 4×8=324×8=32。

没有 3,4,5,…,93,4,5,…,9 相似的两杯酒，故均输出 0。

样例二

input

12
abaabaabaaba
1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 11 -12

output

66 120
34 120
15 55
12 40
9 27
7 16
5 7
3 -4
2 -4
1 -4
0 0
0 0

×思路：本题是我在知道是后缀数组的情况下做的，但是仍然没有想出来。思路很巧妙：

                    1.首先不想最大值的事情，那么我们发现，对于两杯酒r相似，它们的最长公共前缀会大于等于r

                    2.那么联想到height数组，它本是求对与两个后缀排名相邻的数组的最长公共前缀，所以它表示的是所有的公共前缀最大长度的两两组合

                    3,所以我们维护一个并查集，按height数组的值从高到低进行排序，每次把那两个相关的后缀所在的集合合并，在合并前把这两个集合的siz乘起来作为对答案的贡献，这是显然的，因为是按height数组从高到低来的，所以在集合中的后缀都拥有了大于r的相同的前缀，现在的那两个相关的后缀所关系到的所有与它们拥有大于r的相同的前缀的后缀，都是拥有了与那两个相关的后缀相同的长度为r的前缀，所以计入答案。至于集合内部的组合，我们在统计答案的时候做一下累加即可（当然两杯“ r 相似”(r > 1)的酒同时也是“ 1 相似”、“ 2 相似”、……、“ (r − 1) 相似”的。）

                   4.再随意维护一下那个最大值即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define LL long long
#define pb push_back
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define For(i, a, b) for(int i = (a); i <= (int)(b); i++)
#define Forr(i, a, b) for(int i = (a); i >= (int)(b); i--)

#define MAXN (300000+5)
#define INF (1LL<<60)

struct node{
    int h, a, b;

    bool operator <(const node &rhs)const{
        return h > rhs.h;
    }
};

int n, wine[MAXN], s[MAXN], fa[MAXN], siz[MAXN];
LL deli[MAXN], ans[MAXN];
char rs[MAXN];

int c[MAXN], c1[MAXN], c2[MAXN], sa[MAXN], rank[MAXN], height[MAXN];
int Max[MAXN], Min[MAXN];
node nodes[MAXN];

void build_sa(int m){
    int *x = c1, *y = c2, p;
    
    For(i, 1, m) c[i] = 0;
    For(i, 1, n) c[x[i]=s[i]]++;
    For(i, 1, m) c[i] += c[i-1];
    Forr(i, n, 1) sa[c[x[i]]--] = i;
    
    for(int k = 1; k <= n; k <<= 1){
        p = 0;
        For(i, n-k+1, n) y[++p] = i;
        For(i, 1, n) if(sa[i] > k) y[++p] = sa[i]-k;
        
        For(i, 1, m) c[i] = 0;
        For(i, 1, n) c[x[y[i]]]++;
        For(i, 1, m) c[i] += c[i-1];
        Forr(i, n, 1) sa[c[x[y[i]]]--] = y[i];
        
        swap(x, y);
        x[sa[1]] = p = 1;
        For(i, 2, n)
            x[sa[i]] = (y[sa[i]] == y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k] == y[sa[i-1]+k])? p: ++p;
        if(p >= n) break;
        m = p;
    }
//    For(i, 1, n) printf("sa[%d] = %s\n", i, rs+sa[i]);
}

void get_height(){
    For(i, 1, n) rank[sa[i]] = i;
    int k = 0;
    For(i, 1, n){
        if(k) k--;

        int j = sa[rank[i]-1];
        while(s[i+k] == s[j+k]) k++;
        height[rank[i]] = k;
    }
}

void height_init(){
    For(i, 2, n) nodes[i-1] = (node){height[i], sa[i-1], sa[i]};
    sort(nodes+1, nodes+n);
}

int find(int x){
    return x==fa[x]? x: (fa[x]=find(fa[x]));
}

void solve(){
    For(i, 0, n) deli[i] = -INF;
    For(now, 1, n-1){
        int h = nodes[now].h, a = nodes[now].a, b = nodes[now].b;
        int u = find(a), v = find(b);
        ans[h] += (LL)siz[u]*siz[v];
        fa[u] = v; siz[v] += siz[u];

        deli[h] = max(deli[h], max((LL)Max[u]*Max[v], (LL)Min[u]*Min[v]));
        Max[v] = max(Max[v], Max[u]); Min[v] = min(Min[v], Min[u]);
    }

    Forr(i, n-2, 0){
        deli[i] = max(deli[i+1], deli[i]);
        ans[i] += ans[i+1];
    }
    For(i, 0, n-1) printf("%lld %lld\n", ans[i], deli[i]==-INF? 0: deli[i]);
}

int main(){
    scanf("%d%s", &n, rs+1);
    For(i, 1, n){
        scanf("%d", &wine[i]);
        s[i] = rs[i]-'a'+1;
        fa[i] = i; siz[i] = 1; Max[i] = Min[i] = wine[i];
    }

    build_sa(26); get_height();
    height_init(); solve();

    return 0;
}