HDOJ 2602 Bone Collector 【动态规划 01背包】

题目链接：

　　http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=17434

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动态规划：

    经典的01背包问题

    有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
    求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

    这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
    用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
        f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
    将它详细解释一下：
    “将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
    如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物 品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；
    如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

    先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
    那么，如果只用一个数组 f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？
    f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？
    事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。
    伪代码如下：
    for i=1..N
        for v=V..0
            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
    其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。

    最后的f[v]就是问题的最优解了。

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抽象模型：

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)

    for v=V..cost

        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

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#include<cstdio>
#include<cstring>
const int MAXL = 1000+5;
int max(int a, int b){ return a>b ? a : b;}
int t, n, v, value[MAXL], volume[MAXL], dp[MAXL];

int main(){
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        scanf("%d%d", &n, &v);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &value[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &volume[i]);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = v; j >= volume[i]; j--){ // 注意j的停止条件，一是防止越界，二是小于0后的答案就是dp[j]，已经计算过了
                //从v遍历至0的逆序可以保证dp[j-volume[i]]是上一层的计算结果，
                //又因为dp数组第二维的v只涉及到上一层的数据，其他层的数据都不会再访问
                //从而省去dp数组的第一维度，每次都对之前的数据进行刷新，节省空间复杂度至O(n);
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-volume[i]]+value[i]);
            }
        }
        printf("%d
", dp[v]);
    }

    return 0;
}