【算法】字符串匹配之Z算法

求文本与单模式串匹配，通常会使用KMP算法。后来接触到了Z算法，感觉Z算法也相当精妙。在以前的博文中也有过用Z算法来解决字符串匹配的题目。

下面介绍一下Z算法。

先一句话讲清楚Z算法能求什么东西。

输入为一个字符串s，Z算法可以求出这个字符串每一个后缀与自身的最长公共前缀LCP，Z算法可以求出一个数组z，z[i]表示suffix(i)与字符串本身的最长公共前缀。

接下来，介绍Z算法的具体内容。

记字符串s的长度为n。

Z算法需要维护一对值，记为left和right，简记为L和R。L和R满足s[L,R]为s串的前缀。当i为1的时候，暴力比较s[0,n-1]与s[1,n-1]可得此时的L与R，同时也得到了z[1]，即suffix(1)与s本身的LCP。

假设计算至i-1，我们已经得到了当前的L与R，同时也得到了z[1]到z[i-1]的值，现在需要计算z[i]与新的L和R。

1.假设i>R，则说明不存在一个结束于i或者i之后的串，同时这个串本身也为s的一个前缀，否则R不应该小于i。对于这种情况，需要重新计算新的L与R，令L=R=i,暴力比较s与suffix(i)，得到z[i]=R-i+1=R-L+1。

2.此时i<=R，令k=i-L，可以断言z[i]>=min(z[k],R-i+1)。因为根据L与R的含义，此时我们可以将L到R视作为字符串的前缀，那么i相对于L的偏移量为k。

如果z[k]<R-i+1,则z[i]必然等于z[k]，基于此时，s[k,k+z[k]-1]是s[i,R]的一个前缀,同时在这种情况下L与R不变。

如果z[k]>=R-i+1，根据R的含义可知s[R+1]!=s[R-L+1]，z[k]中大于R-i+1的匹配信息因为s[R+1]!=s[R-L+1]而无效，但这并不意味着s[R+1]!=s[R-i+1]，此时根据z[k]可以断言z[i]至少是R-i+1,是否可以更大需要再进行计算，令L=i,更新R值，并得到此时的z[i]。

具体实现中，第二种情况的两种子情况可以归一化处理。

给出一个C++实现代码：

void Z(char *s,int n=0) {
    n=(n==0)?strlen(s):n;
    z[0]=n;
    int l=0,r=0;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        if (i>r) {
            l=i,r=i;
            while (r<n&&s[r-i]==s[r]) r++;
            z[i]=r-l;
            r--;
        }
        else {
            int k=i-l;
            if (z[k]<r-i+1)
                z[i]=z[k];
            else {
                l=i;
                while (r<n&&s[r-i]==s[r]) r++;
                z[i]=r-l;
                r--;
            }
        }
    }
}

过程中每个字符至多被L和R扫到一次，Z算法是线性的复杂度。

Z算法解决单模式串匹配的方法很简单，令S为文本串，T为模式串，构造新串P=T+'#'+S，计算z数组，从S在P中开始的位置向后扫描，如果z[i]=length(S)，则说明此处有一个匹配。当然其实也可以不加'#'，那样子的话判断需要用>=而不是=。相较于KMP，对于解决单模式串匹配，如求所有匹配位置，其实用Z算法求的话是可以做到不用额外空间的（对于字符串拼接，可以不用开一个新的字符串。过程中判断匹配即可，不必保存z数组。），而KMP的话，不保存模式串的next数组，是没办法进行匹配运算的。