莫比乌斯专题总结

好久了，终于把莫比乌斯那几道题做完了
想着刚开始听学长讲课还一脸蒙比，现在已经能自己做出来较难的题了，还是很高兴的
先对莫比乌斯反演下一个总结：把一个含有许多或的式子拆成更多的式子，然后在通过一系列操作消掉一些式子，使得最终得到的式子在给定时间内可求

下面大量概念预警

莫比乌斯函数µ(d)

定义µ(d)=/1 d=1

　　　　 |(-1)^k d=p1​⋅p2​⋅p3​⋯pk​(pi!=pj)

　　　　 otherwise

性质∑_d|nµ(d)=[n=1]

证明：当n=1时，显然成立

　　　当n>1时，n=p₁^a₁+p₂^a₂+......+p_k^a_k

　　　则∑_d|nμ(d)=μ(1)+μ(p₁​)+μ(p₂​)+⋯+μ(p₁​p₂​)+⋯+μ(p₁​p₂​p₃​)+⋯+μ(p₁​p₂​⋯p_k​)

　　　　　　　　　　 =(0,k)*(-1)+(1,k)*(-1)+......+(k,k)*(-1)^01k

　　　　　　　　　　 =0

 筛法：一般就线性筛就好了

 

void get_mu() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i < maxn; i++) {
    if (vis[i] == false) {
      prime[cnt++] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
      vis[i * prime[j]] = true;
      if (i % prime[j] == 0) break;
      mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}

有了这个就可以在需要判断条件的时候把判断变成简单的相加

数论分块

莫比乌斯反演最常用配套算法

我们看一个简单的例子，求∑_i=1~n[n/i]([]表示向下取整)

我们发现对于一段连续的区间，[n/i]的值是相同的，那么怎么求出来这个区间呢

经过试验我们发现对于一个起点i，和他值相等的最右端点为[n/[n/i]]

这样我们就可以在√n的复杂度下求出该式

对于两个限制条件m n，我们只需要取一个min就好了

for(int i=,j;i<=n;i=j+1){
            j=min((n/(n/i)),(m/(m/i)));
            ans+=(sum[j]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }

卷积

对于h(n)=∑_d|nf(d)g(n/d)

满足结合律，封闭性，单位元，逆元，同时还满足交换律

以及最重要的：若f，g为积性函数，则h为积性函数

一些比较常用的积性数论函数

F=f∗1

然后我们就可以开始做莫比乌斯反演了

几道水题：[bzoj2820]YY的GCD

　　　　　[bzoj2693]jzptab

　　　　  [BZOJ3994]约数个数和（题解）

对我来说有难度的题：

1 [bzoj3309] DZY Loves Math

　反演很好写，但是其中一个函数的性质没有想明白，TLE得很惨

2 [bzoj4816]数字表格

　题解

3 [bzoj3529]数表

　反演也很简单，就是<=a不好处理，但是n的范围又足够承受nlogn

　我们可以把所有询问都读入，然后sort一遍，配合数状数组，就可以做到nlogn了

4 [bzoj3601] 一个人的数论（好题）

　第一道反演有难度的题，主要瓶颈在于把自然数幂和转为d+1次的多项式

　然后使用高斯消元得到多项式系数，就可以做了，复杂度很小

　（这题竟然不用筛µ，也不用数论分块)

最后总结一下，一般就是把gcd(i,j)=1化成∑µ，再证明积性函数而做到线性筛，最后用数论分块求解

f=μ∗F