2.1 变量消除
对于贝叶斯网络来说，教程中的$phi_A(A,B)其实就是$P(A|B)。
这里用一种更好理解的方式。首先总结下概率的几个性质：
1、若$A,B$为独立随机变量，则
$P(A)P(B)=P(A,B)$
$P(A)=P(A|B)$
$P(B)=P(B|A)$
2、若$A,B$在给定$C$的情况下独立，则
$P(A|C)P(B|C)=P(A,B|C)$
$P(A|C)=P(A|B,C)$
$P(B|C)=P(B|A,C)$
$P(C|A,B)P(B)=P(C|A,B)P(A,B)/P(A)=P(A,B,C)/P(A)=P(B,C|A)$
$sum_{LSGHIDC}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(G|I,D)P(H|G,J)P(I) extbf{P(D|C)P(C)}$
$=sum_{LSGHID}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(G|I,D)P(H|G,J)P(I)sum_{C} extbf{P(D|C)P(C)}$
$=sum_{LSGHID}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(G|I,D)P(H|G,J)P(I)sum_{C} extbf{P(C,D)}$
$=sum_{LSGHID}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I) extbf{P(G|I,D)}P(H|G,J)P(I) extbf{P(D)}$
$=sum_{LSGHID}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(H|G,J)P(I) extbf{P(G|I,D)P(D)}$
$=sum_{LSGHI}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(H|G,J)P(I)sum_{D} extbf{P(G|I,D)P(D)}$
$=sum_{LSGHI}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(H|G,J)P(I)sum_{D} extbf{P(G,D|I)}$
$=sum_{LSGHI}P(J|L,S)P(L|G)P(S|I)P(H|G,J)P(I) extbf{P(G|I)}$
$=sum_{LSGHI}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J) extbf{P(S|I)P(I)P(G|I)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J)sum_{I} extbf{P(S|I)P(I)P(G|I)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J)sum_{I} extbf{P(S,I)P(G|I)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J)sum_{I} extbf{P(S,I)P(G|I,S)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J)sum_{I} extbf{P(G,S,I)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(H|G,J) extbf{P(G,S)}$
$=sum_{LSGH}P(J|L,S)P(L|G)P(G,S) extbf{P(H|G,J)}$
$=sum_{LSG}P(J|L,S)P(L|G)P(G,S)sum_{H} extbf{P(H|G,J)}$
$=sum_{LSG}P(J|L,S)P(L|G)P(G,S)cdot 1$
$=sum_{LSG}P(J|L,S) extbf{P(L|G)P(G,S)}$
$=sum_{LS}P(J|L,S)sum_{G} extbf{P(L|G)P(G,S)}$
$=sum_{LS}P(J|L,S)sum_{G} extbf{P(L|G,S)P(G,S)}$
$=sum_{LS}P(J|L,S)sum_{G} extbf{P(L,S,G)}$
$=sum_{LS}P(J|L,S) extbf{P(L,S)}$
$=sum_{LS}P(J,L,S)$
$=P(J)$
注意几点：
（1）上面采用的变量消除顺序是随意选择的，任意顺序都可以。
（2）上面条件概率的相乘其实就是Factors相乘。
（3）如果要求$P(J,I=i,H=h)$，那么在条件概率表中只保留相应的行，按原来的思路计算。
2.2 复杂度分析
$mathbf{X_k}$：第k次消除涉及的变量集合
$m_k$：第k次消除涉及的factor个数
$psi_k(mathbf{X_k})=prod_{i=1}^{m_k}phi_i$：第k次消除，相乘产生的新factor
$ au_k(mathbf{X_k}-{Z})=sum_Zphi_k(mathbf{X_k})$：第k次消除，边缘化后产生的新factor
Factor乘法：计算次数为所有包含的变量取值的个数，就是实际生成表的行数
Factor边缘化：计算次数为所有包含的变量取值的个数，也是原表的行数
$N_k=|Val(X_k)|$
令m表示factor的个数，n表示变量个数。对贝叶斯网络来说，m<=n，对马尔科夫来说，没有这个限制。
消除过程中产生的中间factor个数为n（因为每次消除删除一个变量）
总factor个数$m^*le m+n$
令$N=max(N_k)$表示所有的生成factor的行数的最大值。
乘法次数：？
加法次数：？
顺序对复杂度的影响：
对图
$(prod_{j=1}^nP(C_j|A,B))P(A)(B)$
简单方法：
$P(A)=sum_{B,C_1,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=1}^nP(C_j|A,B))P(A)(B)$
$=sum_{B,C_2,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=2}^nP(C_j|A,B))sum_{C1}P(C1|A,B)P(A)(B)$
$=sum_{B,C_2,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=2}^nP(C_j|A,B))sum_{C1}P(C1,A,B)$
$=sum_{B,C_2,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=2}^nP(C_j|A,B))P(A,B)$
$=sum_{B,C_3,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=3}^nP(C_j|A,B))P(A,B)$
$=sum_{B,C_4,C_2,ldots,C_n}(prod_{j=4}^nP(C_j|A,B))P(A,B)$
$=ldots$
$=sum_{B}P(A)P(B)$
2.3 通过图来分析复杂度
对一个BN，我们做消除的时候，引入一个无向图模型。用它来计算复杂度。
1、将有向图转换成无向图，需要把所有的V结构的两个Parent相互连接。
2、每次消除一个变量，需要把它原先直连的变量们作两两连接。
所有变量消除完成后，最后的图叫Induced Graph。这里注意，不同的消除过程将导致不同的新边，也将导致不同的Induced Graph
3、Induced Graph的连通性定理：
定理一：每个生成的（中间）factor必定代表一个极大完全连通子图，证明：
（1）最开始的时候，每个原始factor必定是一个完全连通子图（不一定是极大）
考虑$P(X|Pa_X)$：$X$和每个$Pa_X$均有边，然后根据1,每个$Pa_X$之间互相也有边
（2）消除一个变量$X_R$，会把所有包含它的factor(完全连通子图)，合并成一个大的完全连通子图$G_M$（根据2）
（3）现在要证明$G_M$是极大的（无法加入其他顶点）。实际上，如果有另外一个顶点$X_O$也属于$G_M$，那么它必定和$X_R$相连，那么存在一个factor同时包含了$X_R$和$X_O$。这个factor必定参与了(2)相乘的过程。
定理二：每个极大完全连通子图必定是一个中间factor
证明：（还需加强理解）
（1）如果一个顶点$X$属于一个极大完全连通子图，对于其他点$X_O$，必定与$X$直连
（2）也必定有factor同时包含$X_O$和$X$：
这里要证明，如果任意两点X,Y直连，那么必定有factor同时包含X,Y。
(a)从一开始，这是成立的，因为每条边都代表一个父子关系，或者双亲（多亲）关系，父子和双亲必然是包含在同一个factor里的。
(b)每一次消除生成的新边，必定包含在新生成的factor里。
（3）那么消除$X$的时候，所有的直连邻居都会和$X$合并成一个新的factor。
（4）而每一个$X$必须是会被消除的。所以G就不可避免地成为了一个中间factor
4、
Induced Width: Induced Graph中最大完全连通子图的顶点个数减1
Minimal Induced Width: 各种消除顺序生成的Induced Graphs中最小的Induced Width
MIW提供了一个对图进行消除的最小计算量估计。
2.4 寻找消除顺序
1. 定理：
(1)寻找一个使得$MIW<=K$的消除顺序是个NP完全问题。
(2)在确定消除顺序后，消除过程是一个NP难问题。
2. 贪心法是个比较实用的方案。定义一个代价函数，然后每次都选择代价最小的顶点。代价函数选择：
(1)最小邻居：消除变量的邻居数
(2)最小重量：消除后产生的factor的行数
(3)最小填充：消除后产生的新边数
(4)加权最小填充：新边的重量和。边的重量：对应两顶点的重量的乘积
3. 定理：任何induced graph是三角图。也就是说，没有长度大于４的无桥圈。说明：对一个４点圈来说，消除任何一个顶点，将产生一个新边。消除这个无桥圈。看教程的图。
每一种三角化，就是一种消除的顺序。（如何应用？）