第39阶台阶 蓝桥杯

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标题：第39阶台阶 - 蓝桥杯

内容：2013年第四届蓝桥杯全国软件大赛预赛第三题。

作者：MilkCu（http://blog.csdn.net/milkcu）

题目描述

题目标题: 第39级台阶
    小明刚刚看完电影《第39级台阶》，离开电影院的时候，他数了数礼堂前的台阶数，恰好是39级!
    站在台阶前，他突然又想着一个问题：
    如果我每一步只能迈上1个或2个台阶。先迈左脚，然后左右交替，最后一步是迈右脚，也就是说一共要走偶数步。那么，上完39级台阶，有多少种不同的上法呢？
    请你利用计算机的优势，帮助小明寻找答案。

要求提交的是一个整数。
注意：不要提交解答过程，或其它的辅助说明文字。

分析

该情景可简化为39与0和1的关系问题，还有一个限制条件，一共要走偶数步。这道题可以有两种思路，递归与排列组合，代码都不长，重在思考过程。

递归思想

# include <stdio.h>
int n = 0;
int fun(int r, int s)
{
	if(r < 0) {
		return 0;
	}
	if(r == 0 && s % 2 == 0) {
		n++;
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= 2; i++) {
		fun(r - i, s + 1);
	}
}
int main(void)
{
	fun(39, 0);
	printf("%d\n", n);
	return 0;
}

其中，r为remaider的缩写，表示剩余的台阶数；s为step的缩写，表示已经走的步数。我用这种方法的时候，一直在想为什么会有“s % 2 == 0”这个限制条件，原来这是题目的限制条件。

排列组合思想

# include <stdio.h>
int c(int m, int n)
{
	int cmn = 1;
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		cmn = cmn * (m - i) / (i + 1);
	}
	return cmn;
}
int main(void)
{
	int n = 0;
	for(int i = 1; i <= 19; i += 2) {
		n += c(39 - i, i);
	}
	printf("%d\n", n);
	return 0;
}

完全转化为数学问题，实际上就是：

n = c(38, 1) + (36, 3) + ... + c(20, 19)

最后答案

51167078

（全文完）