$ A = 1 + (frac{1}{2})^2 + (frac{1}{3})^2 + (frac{1}{4})^2 + ... = frac{pi^2}{6} $
令一个圆的周长为2, 在圆上取相对的两点, 其距离为直径 d = 2 / π, 令其中一点为光源, 亮度为1, 则在另一点所接收的亮度为 1 / (2 / π)^2 = π^2 / 4
以接收点为圆周, 光源点为圆心, 作一周长为2倍的圆, 可以将原光源拆至新圆圆周上距离接收点距离为1的两点上, 接收点接收的亮度不变
再做周长为4倍的圆, 可以将原光源拆至新圆圆周上距离接收点距离为1和3的四点上, 接收点接收的亮度不变
...
至圆无穷大时, 取一侧的所有光源, 其总亮度为 π^2 / 8, 则得到如下等式
$ B = 1 + (frac{1}{3})^2 + (frac{1}{5})^2 + (frac{1}{7})^2 + ... = frac{pi^2}{8} $
可知
$ A - frac{A}{4} = B $
于是可以推导出
$ A = frac{pi^2}{6} $