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  • Travel Guide(cdq+最短路)

    题意

    给定(n)个点,(m)条边。每个点到(0)(1)(2)号点都有最短路dist0,dist1,dist2。对于一个点(A),若存在点(B)(B)的dist0,dist1,dist2都小于等于(A),并且至少有一个距离要严格小于点(A)的,那么称点(A)为没用的点。不是没用的点,则为有用的点。求总共有多少个有用的点。

    数据范围

    (4 leq n leq 100000)
    (m leq 500000)
    (1 leq w leq 100)

    思路

    首先,这三个距离特别容易算出来,跑三遍Dijkstra即可。
    根据条件,(B)的dist0,dist1,dist2都小于等于(A),并且至少有一个距离要严格小于点(A)的,这是一个三维偏序问题,直接使用cdq分治。
    答案怎么统计呢,对于点(A),我们找有多少个(B)是满足上述条件的,如果(B)的个数是大于(0)的,那么就说明(A)是没用的点。
    考虑到存在三个距离相等的点,因此答案加上三个距离等于点(A)的点数即可。
    这里统计(B)的个数,用树状数组维护。

    代码

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <queue>
    
    using namespace std;
    
    typedef pair<int, int> pii;
    
    const int N = 100010, M = 1000010;
    
    int n, m;
    int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
    bool st[N];
    int dist[N];
    
    vector<int> nums;
    
    struct Node
    {
        int a, b, c, s, id;
        bool operator < (const Node &t) const
        {
            if(a != t.a) return a < t.a;
            if(b != t.b) return b < t.b;
            return c < t.c;
        }
        bool operator == (const Node &t) const
        {
            return a == t.a && b == t.b && c == t.c;
        }
    }q[N], tmp[N];
    
    int is_ok[N];
    int tree[N];
    
    int lowbit(int x)
    {
        return x & -x;
    }
    
    void update(int x, int v)
    {
        for(int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tree[i] += v;
    }
    
    int query(int x)
    {
        int res = 0;
        for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tree[i];
        return res;
    }
    
    void add(int a, int b, int c)
    {
        e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    }
    
    int find(int x)
    {
        return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
    }
    
    void dijkstra(int u)
    {
        memset(st, 0, sizeof(st));
        memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
        priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > heap;
        heap.push({0, u});
        dist[u] = 0;
        while(heap.size()) {
            auto t = heap.top();
            heap.pop();
            int ver = t.second, distance = t.first;
            if(st[ver]) continue;
            st[ver] = true;
            for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if(dist[j] > distance + w[i]) {
                    dist[j] = distance + w[i];
                    heap.push({dist[j], j});
                }
            }
        }
    }
    
    void merge_sort(int l, int r)
    {
        if(l >= r) return;
        int mid = l + r >> 1;
        merge_sort(l, mid), merge_sort(mid + 1, r);
        int i = l, j = mid + 1, k = 0;
        while(i <= mid && j <= r) {
            if(q[i].b <= q[j].b) update(q[i].c, 1), tmp[k ++] = q[i ++];
            else {
                if(query(q[j].c)) is_ok[q[j].id] = q[j].s;
                tmp[k ++] = q[j ++];
            }
        }
        while(i <= mid) update(q[i].c, 1), tmp[k ++] = q[i ++];
        while(j <= r) {
            if(query(q[j].c)) is_ok[q[j].id] = q[j].s;
            tmp[k ++] = q[j ++];
        }
        for(int i = l; i <= mid; i ++) update(q[i].c, -1);
        for(int i = l, j = 0; j < k; i ++, j ++) q[i] = tmp[j];
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(h, -1, sizeof(h));
        for(int i = 0; i < m; i ++) {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }
        
        dijkstra(0);
        for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].a = dist[i];
        dijkstra(1);
        for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].b = dist[i];
        dijkstra(2);
        for(int i = 0; i < n; i ++) nums.push_back(dist[i]);
    
        sort(nums.begin(), nums.end());
        nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
        for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].c = find(dist[i]) + 1;
    
        for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].s = 1;
        sort(q, q + n);
    
        int k = 1;
        for(int i = 1; i < n; i ++) {
            if(q[i] == q[k - 1]) q[k - 1].s ++;
            else q[k ++] = q[i];
        }
        for(int i = 0; i < k; i ++) q[i].id = i;
        merge_sort(0, k - 1);
    
        int ans = n;
        for(int i = 0; i < k; i ++) ans -= is_ok[i];
        printf("%d
    ", ans);
        return 0;
    }
    
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