糖果传递（中位数、推公式、贪心）

题意

有(n)个人坐成一圈，每人有(a[i])个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为(1)。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

数据范围

(1 leq n leq 1000000)
(0 leq a[i] leq 2 imes 10^9)

思路

不妨设第(n)个人传给第(1)个人(x_1)个糖果（这里是净传递量，即第(n)个人传给第(1)个人的数量减去第(1)个人传给第(n)个人的数量），第(1)个人传给第(2)个人(x_2)个糖果，...，第(n - 1)个人传给第(n)个人(x_n)个糖果

中位数(b = frac{1}{n}(a_1 + a_2 + dots + a_n))，我们的目标是(min(|x_1| + |x_2| + dots + |x_n|))

因此我们可以根据数量关系，列出如下方程组：

[a_1 - x_1 + x_n = b\ a_2 - x_2 + x_1 = b\ dots\ a_n - x_n + x_{n - 1} = b ]

整理可得：

[x_1 = x_n - (b - a_1)\ x_2 = x_n - (2b - a_1 - a_2)\ dots\ x_{n - 1} = x_n -((n - 1)b - a_1 - a_2 - dots - a_{n - 1})\ ]

因此我们的目标函数就转化为了(|x_n - (b - a_1)| + |x_n - (2b - a_1 - a_2)| + dots + |x_n - 0|)

不妨设(x = x_n)；(c_1 = b - a_1, c_2 = 2b - a_1 - a_2, dots ,c_n = 0)

目标函数转化为(|x - c_1| + |x - c_2| + dots + |x - c_n|)

这样就转化成了一个特别经典的问题，就是数轴上有(n)个点，问选哪个点到这(n)个点的距离之和最小。取中位数即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1000010;

int n;
ll a[N];
ll q[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    ll sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
        sum += a[i];
        a[i] += a[i - 1];
    }
    ll b = sum / n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        q[i] = i * b - a[i];
    }
    sort(q + 1, q + n + 1);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n / 2; i ++) ans += q[n - i + 1] - q[i];
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}