负载平衡问题（费用流，网络流24题）

题意

有 (n) 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量(a_i)不等。

如何用最少搬运量可以使 (n) 个仓库的库存数量相同。搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。

数据保证一定有解。

思路

这道题与运输问题有一些相似点。可以将这些仓库分成两类，一类是比最终数量多的仓库，另一类是比最终数量少的仓库。

最终数量为所有仓库库存数量的均值，即(tot = sum_{i = 1}^n a_i / n)

比最终数量多的仓库要运输出去的量其实就是(a_i - tot)；比最终数量少的仓库要运输出去的量是(tot - a_i)。

设立虚拟源点(S)，与比最终数量多的仓库连容量是(a_i - tot)，费用是(0)的边；

设立虚拟汇点(T)，比最终数量少的仓库与(T)连容量是(tot - a_i)，费用是(0)的边。

因为一开始不够的仓库可能在中间过程中超过了目标容量，因此也有可能需要向旁边的仓库输出库存。

每个仓库向旁边两个仓库，连容量是(infty)，费用是(1)的边。

跑最小费用流即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 110, M = 610, inf = 1e8;

int n, S, T;
int s[N];
int h[N], e[M], ne[M], f[M], w[M], idx;
int d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool spfa()
{
    memset(incf, 0, sizeof(incf));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    st[S] = true;
    d[S] = 0, incf[S] = inf;
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(f[i] && d[ver] > d[t] + w[i]) {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if(!st[ver]) {
                    st[ver] = true;
                    que.push(ver);
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

int EK()
{
    int cost = 0;
    while(spfa()) {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for(int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = n + 1;
    int tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        s[i] = x;
        tot += x;
    }
    tot /= n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        if(tot <= s[i]) add(S, i, s[i] - tot, 0);
        else add(i, T, tot - s[i], 0);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        add(i, i + 1 <= n ? i + 1 : 1, inf, 1);
        add(i, i - 1 >= 1 ? i - 1 : n, inf, 1);
    }
    printf("%d
", EK());
    return 0;
}