2 误差

误差的类型：

截断误差（数值计算中必须考虑）

精确公式用近似公式代替时，所产生的误差叫截断误差。
例：利用(ln(x+1))的Taylor公式：
(ln(x+1) = x - frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x^3 - frac{1}{4}x^4 + dots + (-1)^{n+1}frac{1}{n}x^n + dots)
实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前(5)项有：
(ln 2 approx 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + frac{1}{5})
这里产生误差（记作(R_5)）
(R_5 = - frac{1}{6} + frac{1}{7} - frac{1}{8} + frac{1}{9} - frac{1}{10} + dots)

模型误差

数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差
为简化模型忽略次要因素、定理在特定条件下建立，与实际条件有别。
模型误差( ightarrow)数学模型的准确解与实际问题的真解不同。

观测误差

由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制，使数据含有测量误差，这类误差叫做观测误差或数据误差。
根据实际情况可以得到误差上下界。
数值方法中需要了解观测误差，以便选择合理的数值方法与之适应。

舍入误差（数值计算中必须考虑）

计算机的计算中只能对有限位字长的数值进行运算。
需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理。
用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差。
例：(pi = 3.1415926dots)四舍五入后，(epsilon_1 = pi - 3.1416 = -0.0000074)

绝对误差和误差限

定义：设(x)是准确值，(x^*)为(x)的一个近似值，称(e(x^*) = x - x^*)是近似值(x^*)的绝对误差，简称误差。
例：若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为(1.45)米，求(1.45)米的绝对误差。
答：不知道

实际问题往往可以估计出(|e(x^*)|)不超过某个正整数(epsilon)，即(|x - x^*| leq epsilon)，则称(epsilon)为绝对误差限，有了绝对误差限，就可以知道(x)的范围为：(x^* - epsilon leq x leq x^* + epsilon)。即(x)落在([x^* - epsilon,x^*+epsilon])内。在应用上，常常采用下列写法来刻画(x^*)的精度：(x = x^* pm epsilon)。

相对误差

定义：设(x)是准确值，(x^*)是近似值，(e^*)是近似值的绝对误差，称(frac{e^*}{x} = frac{x-x^*}{x})为近似值(x^*)的相对误差，记作(e_r^*)。通常取(e_r^* approx frac{e^*}{x^*} = frac{x-x^*}{x^*})
相应地，若整数(epsilon_r)满足(|frac{x-x^*}{x}| leq epsilon_r)，则称(epsilon_r)为(x^*)的相对误差限。
例：设(x^* = 1.24)是由精确值(x)经过四舍五入得到的近似值，求(x)的绝对误差限和相对误差限。
解：由已知可得：(1.235 leq x < 1.245)，所以，绝对误差限(epsilon = 0.005)
根据相对误差限的定义(|frac{x-x^*}{x}| leq epsilon_r)，所以，相对误差限(e_r approx 0.005 div 1.24 approx 0.4\%)
注意：一般地，凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。

有效数字

定义：用科学计数法，记(x^* = pm 0.a_1a_2dots a_y imes 10^m)，其中(a_1 eq 0)。若(|x - x^*| leq 0.5 imes 10^{m - n})，即(a_n)的截取按四舍五入规则，则称(x^*)有(n)位有效数字，精确到(10^{m - n})。
例：(pi = 3.1415926535897932dots)，(pi^* = 3.1415)。问：(pi^*)有几位有效数字？
解：(pi^* = 0.31415 imes 10^1)，并且(|pi - pi^*| < 0.5 imes 10^{-3} = 0.5 imes 10^{1-4})。所以，(pi^*)有(4)位有效数字，精确到小数点后第(3)位。
例：将(frac{22}{7})作为(pi)的近似值，它有几位有效数字？
解：(x = pi = 3.1415926dots)，(x^* = frac{22}{7} = 3.14285714 = 0.314285714 imes 10^1)
，得(m = 1)。故(|x - x^*| < 0.0014 leq 0.5 imes 10^{m - n})，得(n = 3)。所以是(3)位有效数字。
例：为了使(x = sqrt{2})的近似值的绝对误差小于(10^{-5})，问应取几位有效数字？
解：由于(sqrt{2} = 1.4dots)，则近似值(x^*)可写为(x^* = pm 0.a_1a_2dots a_k imes 10^1)，(a_1 = 1 leq 0)。(x^*)作为(x)的近似值，具有(n)位((n leq k))有效数字当且仅当，(|x - x^*| leq frac{1}{2} imes 10^{m - n})。令(|sqrt{2} - x| leq frac{1}{2} imes 10^{1 - n} leq 10^{-5})。故取(n = 6)，即取(6)位有效数字。此时(x^* = 1.41421)。
注：精确值的有效数字可认为有无限多位。

一元函数的误差定义

一元函数(f(x))具有二阶连续导数，(x)为准确值，(x^*)为近似值，(f(x^*))作为(f(x))的一个近似值，那么(f(x))的绝对误差限如何求解呢？
解：我们先给出(f(x))在(x = x^*)时的泰勒展开：(f(x) = f(x^*) + f'(x^*)(x - x^*) + frac{f''(xi)}{2!}(x - x^*)^2)。
因此，我们有(|f(x) - f(x^*)| leq |f'(x^*)||x - x^*| + frac{|f''(xi)||x-x^*|^2}{2})。
其中(xi)位于(x)与(x^*)之间，若(f'(x^*) eq 0)，(|f''(xi)|)与(f'(x^*)|)相比不太大，则忽略含(|x-x^*|^2)的项，(|f(x) - f(x^*)| leq |f'(x^*)||x - x^*|)。即(f(x^*))的误差限为：(epsilon(f(x^*)) approx |f'(x^*)||x - x^*|)的(f(x^*))绝对误差的一个近似估计。
例：设(x > 0, x^*(>0))是(x)的一个近似值，(epsilon)为其一个相对误差界，估计(ln x^*)近似(ln x)的误差。
解：(epsilon)是(x^*)近似(x)的相对误差界，所以其绝对误差界可取为(epsilon |x^*| = epsilon x^*)，由(|f(x) - f(x^*)| leq |f'(x^*)||x - x^*|)有：(|ln x - ln x^*| leq |f'(x^*)||x - x^*| leq frac{1}{x^*}cdot epsilon x^* = epsilon)
所以(epsilon)是(ln x^*)近似(ln x)的一个绝对误差界，而其相对误差界可以取(frac{epsilon}{|ln x^*|})

多元函数的误差计算

如果(f)是(n)元函数，自变量(x_1,x_2, dots ,x_n)的近似值分别是(x_1^*,x_2^*, dots ,x_n^*)，则由一阶Taylor公式得：(f(x_1,x_2, dots ,x_n) approx f(x_1^*,x_2^*, dots ,x_n^*) + sum_{k = 1}^n(frac{partial f}{partial x_k})^*(x_k - x_k^*))
其中((frac{partial f}{partial x_k})^* = frac{partial}{partial x_k}f(x_1^*,x_2^*, dots ,x_n^*))，则可以估计函数值的误差界，近似地有：(|f(x_1,x_2, dots ,x_n) - f(x_1^*,x_2^*, dots ,x_n^*)| leq sum_{k = 1}^n|frac{partial f}{partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|)。可得(f(x_1^*,x_2^*, dots ,x_n^*))的误差限约为(sum_{k = 1}^n|frac{partial f}{partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|)。

四则运算的误差计算

把多元函数的误差公式(sum_{k = 1}^n|frac{partial f}{partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|)用到两个或多个数的算术运算中去，例如，(|(x_1 pm x_2) - (x_1^* pm x_2^*)| leq |x_1 - x_1^*| + |x_2 - x_2^*|)，(|(x_1x_2) - (x_1^*x_2^*)| leq |x_2^*||x_1 - x_1^*| + |x_1^*||x_2 - x_2^*|)。
以上两式是两数之和、差与积的误差估计；同理，对商的误差估计：(|frac{x_1}{x_2} - frac{x_1^*}{x_2^*}| leq frac{1}{|x_2^*|}|x_1 - x_1^*| + frac{|x_1|}{|x_2^*|^2}|x_2 - x_2^*| = frac{|x_2^*||x_1 - x_1^*|+|x_1^*||x_2 - x_2^*|}{|x_2^*|^2})