[A =
egin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 \
2 & 4 & 6 & 8 \
3 & 6 & 8 & 10
end{pmatrix}
longrightarrow
egin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 \
0 & 0 & 2 & 4 \
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
= U
]
矩阵(A_{m imes n})的秩定义为主元的个数，记为(rank(A) = r)
自由变量个数为(n - r)
回带：
[egin{cases}
x_1 + 2x_2 + &2x_3 &+ 2x_4 &= 0 \
& 2x_3 &+ 4x_4 &= 0
end{cases}
]
自由变量随便取值，可得解：
[x = c
egin{pmatrix}
-2 \
1 \
0 \
0
end{pmatrix}
+ d
egin{pmatrix}
2 \
0 \
-2 \
1
end{pmatrix}
]
定义矩阵(R)为矩阵(A)的简化行阶梯矩阵（reduced row echolom form）：
[egin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & -2 \
0 & 0 & 1 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
= R = rref(A)
]
对应方程组为：
[egin{cases}
x_1 + 2x_2 - 2x_4 &= 0 \
x_3 + 2x_4 &= 0
end{cases}
]
将矩阵(R)的第二列和第三列交换，得：
[egin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -2 \
0 & 1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
]
因此，(R)可以写成：
[R =
egin{pmatrix}
I & F \
0 & 0
end{pmatrix}
]
的形式。
由(Rx = 0)，即(RN = 0)，(N)为零空间，可以得出零空间的表示方式：
[N =
egin{pmatrix}
-F \
I
end{pmatrix}
]