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  • John Morgan:黎曼几何、曲率、Ricci流以及在三维流形上的应用二讲

    本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成

    1. 黎曼曲面上的联络

    黎曼流形$(M^n,g)$中,$M$为$n$维流形,而$g$为正定的黎曼度量,即$g_{ij}(x^1,x^2,cdots,x^n)dx^iotimes dx^j$,而$(g_{ij})$是对称正定的。

    $ abla$是联络(我们可以把它看成“方向导数”($ abla_X$为求$X$方向)),它的定义域与值域为$ abla:Vect(M)otimes_{mathbb{R}}Vect(M) imes Vect(M)$,也即将两个$M$上的向量场映射到$M$上的向量场,即$ abla_X(Y)in Vect(M)$.且满足如下三条性质:

    • 线性性,即关于$X$的$fin C^{infty}(M)$线性,有$ abla_{fX+Y}(Z)=f abla_{X}(Z)+ abla_{Y}(Z)$
      但是注意到关于第二个值并没有$C^{infty}M)$线性,就是$ abla_X(fY)=f abla_X(Y)+X(f)cdot Y$

    • $X(langle Y_1,Y_2 angle)=langle abla_X(Y_1),Y_2 angle+langle Y_1, abla_X(Y_2) angle$,这表示“与度量相容”,也就是$ abla_X(g)=0$.为什么会这样呢?我们本来想象需要对$Y_1,Y_2$以及$g$分别求“方向导数”,而只有两项留下来了,也就是对度量求“导数”会恒为$0$.
    • 无挠,也就是$ abla_X(Y)- abla_Y(X)=[X,Y]$.这个定义Morgan认为他不是很明白,因为$ abla_X(Y)$同样可以定义为$ abla:Vect(M)otimes_{mathbb{R}} Gamma(E) o Gamma(E)$, 其中$Gamma(E)$是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上,因为$ abla_Y$没有意义。

    满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理:

    定理:Levi-Civita联络存在唯一

    (笔者按:Levi-Civita可以用$$2langle abla_X Y,Z angle= Xlangle Y,Z angle- Zlangle Y,X angle + Y langle Z,X angle- langle Z,[Y,X] angle +langle [Z,Y],X angle -langle Y,[X,Z] angle$$来定义,满足以上条件) 

    由于在局部,我们可以用$partial_i(i=1,2cdots n)$来张成$T_xM|_U$,我们可以令$ abla_{partial_i}(partial_j)=Gamma_{ij}^k partial_k$,(从而我们通过前面知道$$Gamma_{ij}^k=frac{1}{2} g^{lk}(partial_j g_{ki}+partial_i g_{jk}-partial_k g_{ij})$$,从而惟一性成立)

    2.测地线,高斯映射

    $dot{gamma}(t)in T_{gamma(t)}M$,其中$gamma(t)=(x^1(t),x^2(t),cdots,x^n(t))$为$M$上的曲线,$dot{gamma}=(dot{x}^1(t),dot{x}^2(t),cdots,dot{x}^n(t))$为速度。曲率线方程即为$ abla_{dot{gamma}(t)}(dot{gamma}(t))=0$。注意到$ abla$作用在$M$上的向量场上,而$dot{gamma}$并非向量场,所以我们需要把$dot{gamma}$延拓到全流形上。(笔者按:由于$frac{d^2 x^k}{dt^2}+Gamma_{ij}^k frac{dx^i}{dt}frac{dx^j}{dt}=0$)

    由于常微分方程解的存在惟一性,给定了$gamma(0)$以及$dot{gamma}(0)$,我们就得到一条测地线。也就是说,我们能够构造一个从$T_{gamma(0)}M o M$的映射,也即初始向量为此向量的测地线到达的$M$上的点。我们设为$exp:T_x M o M$,在起点的领域$B(0,epsilon)$上有定义。

    3.曲率

     我们有了零阶的信息(度量),一阶信息(测地线、联络),那么二阶信息是什么呢?我们认为是曲率

    问题如下:一个度量的几何性质是怎么样的(我们能从度量的句子$(g_{ij})$中获得什么信息)

    在单点上,实际上度量没有任何信息,所有的度量都是等价于标准的欧氏度量,我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵,从而得到标准度量。

    这样的标准性能到几阶呢?似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定(也就是局部来说,黎曼曲率包含了所有信息)

    我们还没有定义曲率,曲率定义如下:$R(X,Y)= abla_X abla_Y- abla_Y abla_X- abla_{[X,Y]}$,由于Levi-Civita联络的定义我们知道$R(X,Y)f=0$成立。

    引理:曲率对于$X,Y$关于$C^{infty}(M)$成立,即$R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z$,它对$X,Y$反对称。

    奇迹的是,我们可以计算,对于$Z$关于$C^{infty}(M)$成立,也就是$R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$。所以我们可以定义4-张量,$langle R(X,Y)Z,W angle$,对于四个变量都是线性的,从而定义$R_{ijk}^lpartial_l=R(partial_i,partial_j)partial_k$。

    将符号降下来,可以定义$R_{ijkl}=g_{mk}R_{ijk}^m=langle R(partial_i,partial_j)partial_l,partial_k angle$.,通过前面我们知道$R_{ijkl}(dx^iwedge dx^j)otimes (dx^lwedge dx^k)$为在$igwedge^2 TM$上的对称2-张量。

    黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义

    也就是在曲面上一点附近的测地圆(也就是以$|x|le epsilon$为半径的$T_xM$上的向量用高斯映射映至的区域)和平面上的圆相差多少?高斯认为是

    $$lim_{epsilon o 0}12frac{piepsilon^2-Area(B(p,epsilon))}{pi epsilon^4}$$

    定义为高斯曲率(实际上我们通常定义不是这样的,定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理)

    此时,$igwedge^2 TM=mathbb{R}$,而黎曼曲率$R:mathbb{R} omathbb{R}$仅为乘上高斯曲率。

    定理(Cartan):我们有关于黎曼曲率$R$对于度量$exp^*(g_{ij}(x^1,x^2,cdots,x^n))$(被称为高斯度量)的公式。(Do carmo第八章第2节)

     

    也就是在指数映射$exp:mathbb{R}^n o M$拉回,我们在$T_p(M)=mathbb{R}^n$原点附近有度量$exp^*(g)=hat{g}$。$hat{g}$有基于$R$的公式。($hat{g}$ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思)也就是度量在坐标变换,也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。

    所以我们可以知道,如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.

    最后我们给出Ricci曲率的定义:$Ric_{ij}dx^iotimes dx^j$为对称2-张量,有$Ric_{ij}=g^{kl}R_{iklj}$.

    4.整体性质

    局部来看,在坐标变换的意义下,度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样,一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下:

    对于紧平的曲面(黎曼曲率为0且有界),我们考虑环面$(T^2,g)$,$(mathbb{R}^2,g)$ 为欧氏空间,万有覆盖映射$pi:mathbb{R}^2 o T^2$.由于$T^2$的同伦群$pi_1(T^2)=H_1(T^2)subset mathbb{R}^2$是格$Lambda$.从而$T^2cong mathbb{R}^2/Lambda$为等距同构。

    我们就来研究格,格的基为$v_1,v_2$

    用复数表示为$v_2= au v_1, auinmathbb{C}$,我们选择定向,使得$ auin mathbb{H}^2$.而由于在行列式为$1$的整数矩阵变换下格不变,所以$[ au]in mathbb{H}^2/SL_2(mathbb{Z})cong S^2-{infty}$.同时$mathbb{R}^+=area(T^2)$,所以我们有一族平的环面构成的3维实空间,它们都有相同的度量(平整度量)

    对于更高的亏格会如何呢?对于$Sigma_g(g>1)$,我们用$(mathbb{H}^2,g),g=frac{dx^2+dy^2}{y^2}$进行覆盖,而$mathbb{H}^2$在实$2 imes 2$的矩阵下不变。所以$Sigma_g$有$mathbb{H}^2/Gamma,Gammasubset PSL_2(mathbb{R})$给出。这样的双曲度量形成了$6g-6$维的空间。

    但在更高维,情况就不一样了。我们可以类似地定义$mathbb{H}^n$以及它的度量。同样具有常截曲率$-1$。而同理得到的流形$H^n/Gamma_n$ 由于Mostow Rigidity定理,是唯一的。其中$Gamma_n$为基本群。也就是说,例如在3维,固定了基本群,我们只能得到至多一个度量。

    5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限

    如何定义一族流形${(M_n,g_n,x_nin M_n)}_{n=1}^{infty}$趋近一个极限流形$(M_{infty},g_{infty},x_{infty})$(其中$x$为基点)?我们通过一个例子进行讲述:假如$M_n=M,x_n=x$,只有$g_n=lambda_n^2 g,lambda_n^2 oinfty$,在平常我们的想象中,应该有流形趋近于它的切空间,也就是$(T_xM,g|_x)$,就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。

    我们来定义几何极限,也就是存在开区间$U_nsubset M_{infty},x_{infty}in U_nsubset U_{n+1}subset cdots$,且 $igcup_n U_n=M_{infty}$,其中$U_n$满足存在嵌入$varphi_n:U_nhookrightarrow M_n,varphi_n(x_{infty})=x_n$,且$varphi_n^*(g_n) o g_{infty}$在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子:

    在基点选为红色的点,我们不断拉长拉瘪中间的柄,得到就是红色的流形,这也说明极限流形的拓扑性质会改变,亏格由3变为1。

    如果点在右边那段上,则收敛到的流形亏格为2.

    但如果放在中间的柄上,最后会怎么样的?我们期望它收敛到一条直线,而这显然不可能由几何收敛做到,我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。

    以下是第二讲的内容。

    首先我们回顾了黎曼曲率的定义$R(X,Y,Z,W)=langle R(X,Y)W,Z angle$,其中$R(X,Y)= abla_X abla_Y- abla_Y abla_X- abla_{[X,Y]}$.而截曲率是定义在$T_x M$的二维子空间$P$上,令$X,Y$为P的基,那么截曲率定义为$R(X,Y,X,Y)=langle R(X,Y)Y,X angle$(这样定义黎曼曲率是由于,如果定义为$langle R(X,Y)X,Y angle$,球的黎曼曲率会变为$-1$,与历史上定义球的高斯曲率为$1$不符。我们将在下面的计算中看到这点。)

    6.球的截曲率的计算

    我们考虑球的赤道,只需要计算赤道上每一点的截曲率,由于对称性,我们就可以解出所有点的截曲率。令$y$为“经度”,$x$为“纬度”,且令$X=partial_x,Y=partial_y$,有$$langle R(X,Y)Y,X angle=langle abla_X abla_Y(Y)- abla_Y abla_X(Y),X angle$$

    由于$Y$是测地线,则$ abla_Y(Y)=0$,我们需要计算$ abla_X(Y)$.而由于我们需要对$Y$求方向导数,即考察$y$方向在水平面上的投影向量求导,为$-sin{y}partial_x$,再乘以圆的半径$cos{y}$,得到$ abla_X(Y)=-cos{y}sin{y}partial_x$.由于我们再考虑的是在$y=0$的值,所以不考虑$ abla_Y(partial_x)$因为前面系数为0.从而有$$ abla_Y abla_X(Y)=(sin^2{y}-cos^2y)|_{y=0}=-1$$

    从而$langle R(X,Y)Y,X angle=1$成立

    7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化

    接下来我们讨论是当度量放大$lambda^2$倍后,即$h=lambda^2 g$,各个曲率将会如何变化?我们计算得知黎曼曲率$R(X,Y,Z,W)$放大了$lambda^2$倍,而Ricci曲率$Ric(X,Z)$与原来相等。这是注意到前面提过的

    $ abla_{partial_i}(partial_j)=Gamma_{ij}^k partial_k$,且$Gamma_{ij}^k=frac{1}{2} g^{lk}(partial_j g_{ki}+partial_i g_{jk}-partial_k g_{ij})$成立,也就是说,由于$g_{ij}$变为原来的$lambda^2$倍,而$g^{lk}$变为原来的$lambda^{-2}$倍,也就是$Gamma$没有变化。那么$ abla_X(Y)$也没有变化。但是由于内积$langle, angle$变为原来的$lambda^2$倍,就是$R(X,Y,Z,W)$变为原来的$lambda^2$倍。

    但是我们会观察到,当球面增大的时候,它的高斯曲率反而变小了,这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下,原来的单位向量$X,Y$必须变为新的单位向量$lambda^{-1}X,lambda^{-1}Y$.对于截曲率我们就有$$sec_h(P)=R_h(lambda^{-1}X,lambda^{-1}Y,lambda^{-1}X,lambda^{-1}Y)=lambda^{-2}R_g(X,Y,X,Y)=sec_g(P)$$

    而且对于Ricci曲率,我们计算得到$$Ric_h(X,Z)=sum_{Y_i mbox{ basis}} R_h(X,Y_i,Z,Y_i)=sum_{Y_i mbox{ basis}} lambda^2 R_g(X,lambda^{-1} Y_i,Z,lambda^{-1} Y_i)$$

    是由于$Y_i$是正交向量场,在原坐标下是$lambda^{-1} Y_i$才是正交向量场,也就是Ricci曲率没有变化。

    8.Bishop-Gromov不等式

    我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理:Bishop-Gromov不等式

    M为$n$维完备流形,且Ricci曲率满足$Ricge (n-1)k$,那么对于$H_k^n$,也就是常截曲率$k$(换言之,常Ricci曲率$(n-1)k$)的$n$维流形。($k<0$双曲空间,$k=0$欧氏空间,$k>0$球面),那么对于$forall x in M,forall x_0 in H_k^n$,有函数$$f(R)=frac{vol(B(x,R))}{vol(B(x_0,R))}$$是关于$R$非增的函数。其中

    这个定理在全局的意义下也成立,是由于$M$在$R$增大的时候$B$会倒塌。

    9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解

    Ricci流的定义如下:在$M$上的度量$g(t)$满足$$frac{partial g(t)}{partial t}=-2Ric(g(t))$$

    是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是:

    存在性:给定$M^n$为紧的,度量$g_0$,则$exists epsilon>0,$存在光滑的$g(t)(0le tle epsilon)$ ,满足$g(0)=g_0$且满足该方程。

    惟一性:对于$g(t),h(t)$为解,且$g(0)=h(0)$,那么在共同的定义域上$g=h$。

    对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形,也就是$(M,g)$为流形,且满足$Ric(g_0)=lambda g_0$,其中$lambda$为常数。

    那么该Ricci流的解为$g(t)=(1-2lambda t)g_0$。因为$frac{partial g(t)}{partial t}=-2lambda g_0=-2Ric(g_0)=-2Ric(g(t))$,最后一个等号成立是由于$g(t)$是$g_0$的倍数,利用前面的放大性质得到。

    所以当$lambda>0$,在$t=1/2lambda$的时候为奇点,由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上,这种现象对于$lambda>0$的黎曼流形都成立。

    当$lambda<0$,$g(t)$对与所有$t$成立。考虑$g(t)/t=(1+2|lambda|t)/t g_0 o 2|lambda| g_0$是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上,取缩小为$1/t$,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。

    其他可以计算Ricci流的方程为积流形,也就是两个流形的笛卡尔积。例如$S^2 imes mathbb{R}$,有度量$g_{s^2}+dt^2$,在$t oinfty$时候,原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为,我们没法给出更多整体的Ricci流的性质

    10.怎么研究Ricci流?

    怎么研究Ricci流?我们有三种方法可以使用:

    1. 直接计算方程,正是我们前面使用的
    2. 极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
    3. Bishop-Gromov不等式的双曲形式

     第一个方法,我们使用对于体积的估计,我们知道,体积的定义是

    [vol(U)=int_U(det(g))^{1/2}dvec{x},quad Usubsetmbox{ coordinate patch}]

    那么如果$frac{partial g(t)}{partial t}=-2Ric(t)$,则$frac{d}{dt}vol(U)=int_U -R dvol$,其中$R$为数量曲率。这是由于egin{align*}frac{d}{dt}vol(U)&=int_Ufrac{1}{2} (det(g))^{-1/2}frac{partial }{partial t}det(g) \ &=int_Ufrac{1}{2} (det(g))^{-1/2} det(tr(frac{partial}{partial t}g))=int frac{1}{2}(det(g))^{-1/2} tr(-2Ric) \ &=-int tr(Ric) dvol=-int R dvol end{align*}

    所以这也表明了,正的数量曲率代表这体积在变小,负的数量曲率体积变大

    第二个方法,就是$$frac{partial R}{partial t}=Delta R+frac{2}{n} R^2+2|Ric_0|^2$$

    其中$Ric_0=Ric-frac{R}{n}g$为迹0的Ricci曲率(也就是正交分解)。所以对于$R_{min}(t)=min_{xin M}(R(x,t))$,我们有[frac{d R_{min}(t)}{dt}ge frac{2}n R_{min}^2(t)]成立,是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的$y$,$frac{d R(y,t)}{dt}ge frac{2}n R^2(y,t)$.通过这里我们有两个推论。

    1.$R_{min}(t)$单调递增

    2.若$R_{min}(0)>0$,那么在有限时间内会爆破,也就是$R_{min}$达到无穷。而若$R_{min}(0)<0$,则$$R_{min}(t)ge frac{-n|R_{min}(0)|}{2|R_{min}(0)|t+n}$$也即它的渐进下界为$-n/(2t)$.

    作者:御坂01034

    出处:数学搬运工--http://www.cnblogs.com/misaka01034

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