数据结构学习笔记（一：绪论）

数据结构的三要素

1. 数据的逻辑结构

• 逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，与数据的存储无关。
• 数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构。
  • 线性结构：线性表。结构中的数据元素之间只存在一对一的关系。
  • 非线性结构：
    • 集合：结构中的数据元素之间除“同属一个集合”外，别无其它关系。
    • 树形结构：一般树、二叉树。结构中的数据元素之间存在一对多的关系。
    • 图状结构或网状结构：有向图、无向图。结构中的数据元素之间存在多对多的关系。

2. 数据的存储结构

• 存储结构是指数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构。它包括数据元素的表示和关系表示。
• 数据的存储结构使用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。
• 数据的存储结构主要有顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储。
  • 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的逻辑关系以存储单元的邻接关系来体现。
    • 优点：可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间。
    • 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生更多的外部碎片。
  • 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在屋里位置上也相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
    • 优点：不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元。
    • 缺点：每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取。
  • 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表（类似目录）。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是 （关键字，地址）。
    • 优点：检索速度快。
    • 缺点：附加的索引表额外占用存储空间。另外，增加和删除数据时也要修改索引表，因而会花费较多的时间（增删数据的时间成本较高）。
  • 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希（hash）存储。
    • 优点：检索、增加和删除节点的操作都很快。
    • 缺点：若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

3. 数据的运算

• 施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。
  • 运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能。
  • 运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

算法的基本概念：

• 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。
• 算法的五个重要特性：
  1. 有穷性
  2. 确定性
  3. 可行性
  4. 输入
  5. 输出
• 好算法的目标：
  1. 正确性
  2. 可读性
  3. 健壮性
  4. 效率与低存储量需求

算法效率的度量

1. 时间复杂度

• 它用来衡量算法随着问题规模增大，算法执行时间增长的快慢。
• 算法的时间复杂度记为 T(n) = O(ƒ(n))，O是T(n)的数量级，ƒ(n)是基本运算（最深层循环的语句）的频度。
• 一般考虑在最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。
• 时间复杂度计算（单个循环体）
  • 直接关注循环体的执行次数，设为k
• 时间复杂度计算（多个循环体）
  • 两个运算规则：乘法规则，加法规则。
• 加法规则：T(n) = T₁(n) + T₂(n) = O(ƒ(n)) + O(g(n)) = O(max(ƒ(n), g(n)))
• 乘法规则：T(n) = T₁(n) × T₂(n) = O(ƒ(n)) × O(g(n)) = O(ƒ(n) × g(n))

• 常见的渐进时间复杂度：O(1)<O(log₂n)<O(n)<O(nlog₂n)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

2. 空间复杂度

• 它用来衡量算法随着问题规模增大，算法所需空间的快慢。
• 算法的时间复杂度记为 S(n) = O(g(n))