威尔逊定理
威尔逊定理：当 (( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )) 时，(p)为素数。
[p|(p-1)!+1
]
即
[(p - 1)! equiv (p -1) equiv-1(mod p)
]
证明（静下心看）：
先假设集合(M={ 2,3,4,cdots,p - 2}) ，集合(N = { 1,2,3,cdots,p-1})
任取一个(ain M) ，(a) 一定与(p) 互质。
再假设一个集合(S=acdot N={a,2a,cdots, a(p-1)}) ，对于(forall xin N) ，(x) 一定与(p) 互质。
则(Sequiv N (mod quad p)) （任何数(mod quad p) 一定属于({1,2,cdots ,p-1}) 即(N)）。
即(forall ain M) ， (exist x in N) ， (ax equiv 1)（因为 (ax in S) ，在 (mod p) 的条件下 (S=N) ，且存在 (1in N)）
我们可以证明，当(x=1) 或 (x=p-1) 或 (x=a) 时，与已知矛盾。
所以有
[ forall ain M ，exist x in M ,ax equiv 1
]
也就是可以在(M) 中找到任意两个不相等的数，使得两个数相乘与$ 1 $同余
对于 ((p-1)!) ，有
[2 imes(p-1)!=1 imes 2 imes 3 imes cdots imes (p-1) \ imes(p-1) imes(p-2) imes(p-3) imescdots imes1 (mod p)
]
[2 imes(p-1)!=2 imes(p-1) (mod p)
]
即
[(p-1)!equiv p-1 (mod p) ( * )
]
由$ ( * ) $ 式得 $ kp+(p-1)=(p-1)!=(p-1) * (p-2)! $
变形得 $ kp = (p-1) * [(p-2)!-1] $