实数
常用式
[egin{align}
& ||x|-|y|| le |x pm y| le |x| +|y|,qquadforall x in mathbb{R} \
& cos x < frac{sin x}{x} < 1,qquadforall xin left(-frac{pi}{2},frac{pi}{2}
ight) \
& frac{1}{2n} < frac{1}{sqrt{2n-1} sqrt{2n+1}}\
& (a-b)^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b+ cdots)
end{align}
]
函数的定义
反函数
例 (1.2.7) ：求 (y = Large frac{e^x - e^{-x}}{2}) 的反函数
解：令 (z=e^x) ，求出关于 (z) 的表达式即可
例 (1.2.8) ：设 (y = f(x)) 为定义在 (X) 上的一个函数，并记 (Y = f(X)) ，证明：若存在 (Y) 上定义的函数 (g(x)) 使得 (g(f(x)) = x) 则 (f(x)) 的反函数存在，且 (g = f^{-1})
证： 容易证明复合函数为单的充分必要条件为其内外函数均为单。（证明略）
(g(f(x)) = x Longleftrightarrow g(Y) = X) 显然 (g(x)) 是单的（一个 (x) 对应一个 (x) ）
故 (f(x)) 也是单的
显然 (f(x)) 是满的（一个 (f(x)) 对应一个 (Y) 中的元素）
故 (f(x)) 一一对应，即 (f^{-1}(x)) 存在
(g(f(x)) = g(y) = x = f^{-1}(y))
函数的性质
证明无界，无极限等需要找到特殊点，对于三角函数，特殊点要和 (pi) 挂钩
并非所有的周期函数都有基本周期（ (Dirichlet) ）
证明周期函数，可以反证法，取一些特殊点（ (0) 或者于周期有关的表达式 ）来推矛盾