Mathematical-Analysis-I-3

(S) 3.1 函数的极限

重要极限（书上）

[large mathop{lim}limits_{x o 0} frac{sin x}{x} ormalsize = 1 ag{1} ]

[large mathop{lim}limits_{x o 0} (1 + x)^{frac{1}{x}} = 1 ag{2} ]

常用极限

1. (mathop{lim}limits_{x o infty}Large frac{x^k}{a^x} ormalsize= 0) （通过 (mathop{lim}limits_{n o infty}Large frac{n^k}{a^n} ormalsize= 0, nin mathbb{N}) 证明）

2. 所有等价无穷小量

3. (mathop{lim}limits_{x o infty} large frac{1}{x} ormalsize = 0)

4. (mathop{lim}limits_{x o 1} Large frac{sqrt{x} - 1}{x - 1} ormalsize = Large frac{1}{2d})

5. (mathop{lim}limits_{x o Box}u(x)^{v(x)} = a ^ b)

3.2 连续函数

连续函数可移动极限位置：(mathop{lim}limits_{x o Box}f(g(x)) = f(mathop{lim}limits_{x o Box}g(x)))

定理3.3.1：有界性

设 (f(x)in C[a,b]) 则 (f(x)) 在 ([a,b]) 上有界。也就是像下图说的那样

无穷大 (subset) 无界

定理3.3.2：最值定理

设 (f(x) in C[a,b]) ，则 (f(x)) 在 ([a,b]) 上必有最小值和最大值。

很好理解，同上图。

定理3.3.3：介值定理

设 (f(x) in C[a,b]) ，设 (m=mathop{min}limits_{x in [a,b]} { f(x) }) ，(M=mathop{max}limits_{xin [a,b]}{f(x)}) ，则对，(forall \,eta in [m,M]) ，(exists \,xi in [a,b]) 使得 (f(xi)=eta) ，也即 (f([a,b]) = [m,M])

人话：若 (f(x)) 在 ([a,b]) 连续，则在最大最小值之间的任何一个数都至少对应一个 (x)

一致连续

理解

一致连续不仅要连续，还要当距离足够近时，函数值没有明显的变化。

反应到图像上，连续就是一笔画曲线，而一致连续不仅要一笔画，还要求特定的区域内图像不能过于陡峭(比如1/x, 在0附近时)。

定理

( extrm{cantor}) 定理

一致连续等价于：变成序列的 (x_1,x_2) 之差趋于 (0) ，则对应的变成序列的 (f(x_1), f(x_2)) 之差也趋于 (0)

证明在 ([0,+infty)) 上连续的时候，需要取 (mathop{[1,+infty)}limits_{ extbf{用定义证明}},mathop{[0,2]}limits_{ extbf{用cantor}}) 两个区间，一定要相交！！！保证 (x_1,x_2) 落在同一区间

(S) 3.4 无穷小量与无穷大量的阶

1. 无穷大量和无穷小量都需要说明 在 (x o Box) 时

2. (o(g(x)))

3. 通过 (mathop{lim}limits_{x o infty}Large frac{x^k}{a^x} ormalsize= 0) 可证明 (x^k=o(a^x)) , (log_ax = o(x^k)) ，有一种记法： (log_a x prec x^k prec a^x)

4. (f(x) sim g(x) Longleftrightarrow f(x) = g(x) = o(g(x)))

求无穷小量的方法

1. 通过等价无穷小量化简

2. 如果给了无穷小量的格式并且原式无法化简，那么想办法提出这个格式，使得剩下的部分趋于 (1) 。

例：求 (sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x}}};(x o 0)) 的形如 (ax^{alpha}) 的等价无穷小量。

    这题只能用第二种方法。

    想办法提出一个 (ax^{alpha}) 让剩下的部分等于 (1) 。显然 (a=1) （这个式子不提常数常数是最方便的）。技巧： 考虑到 (x o 0) 时 (x^{largefrac{p}{q}} o 0; (frac{p}{q}>0)) ，故只需要里面次数最小的变为 (1) 即可，也就是把最里面的 (sqrt{x}) 变成 (1) 。得到

[sqrt[8]{ x } sqrt{ x^{ frac{3}{4} } + sqrt{ sqrt{x} + 1 } } ]

    这样就可以得到右边的部分趋于 (1; (x o 0)) ，我们就求得了等价无穷小量。

    同理： (sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x}}};(x o +infty)) 的形如 (ax^{alpha}) 的等价无穷大量，也可通过以下式子得到

[sqrt{x}sqrt{1 + sqrt{ small frac{1}{x} + sqrt{ frac{1}{x^3} } } } ]

相关证明

定理3.3.1：有界性

证明1：

方法很多，这里的第一种方法使用 (Bolzano-Weierstrass) 定理和 (Henie) 定理

证1：（反证法）
假设 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续，但是无界. 则根据无界的定义

[forall \, M>0, exists\,x_0 in [a,b], extrm{使得}; |f(x)|>M ]

无界可以联想到无穷大，但必须取离散的点作为自变量才能保证无穷大。由无穷大可以找矛盾点：在这些离散点的定义下存在极限等于实数。可以考虑 (Bolzano) ，然后因为在函数下讨论序列问题，可以考虑用 (Henie) 。

则取 (M) 等于 (1,2,cdots,n) ，有

[1>0,exists\,x_1in[a,b], |f(x)|>1\ 2>0,exists\,x_2in[a,b], |f(x)|>2\ vdots\ n>0,exists\,x_nin[a,b], |f(x)|>n\ ]

从而有 (mathop{lim}limits_{n o infty}f(x_n)=infty)

现在我们得到了一个数列 ({x_n}) ，它不一定收敛，但它有界，则有 (Bolzano) 定理可得它一定有收敛子列，不妨记作 ({x_{n_k}}) ，收敛于 (x_0)

加之 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续（闭区间，则极限一定能够等于当前点的函数值），结合 (Henie) 定理，(mathop{lim}limits_{k o infty}x_{n_k}=x_0 Longrightarrowmathop{lim}limits_{k oinfty}f(x_{n_k})=f(x_0))

如果一个数列收敛于一个数或者无穷，那么它的子列也收敛到同一个数或无穷。此处就产生了矛盾。

证毕

证明2

闭区间套

证2：（反证法）
假设 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续，但是无界，则对于区间 ([a,frac{a+b}{2}]) 和 ([frac{a+b}{2},b]) ，(f(x)) 一定在其中的某个区间内无界。

令这个子区间为 ([a_1,b_1]) 则对于 ([a_1,frac{a_1+b_1}{2}]) 和 ([frac{a_1+b_1}{2},b_1]) ，(f(x)) 一定在其中的某个区间内无界。

如此下去，则可以得到一个闭区间列 ({[a_n,b_n]}) 满足：
  (1. a_{n-1}le a_n<b_nle b_{n-1})

  (2. mathop{lim}limits_{n oinfty}b_n-a_n=0)

  (3. f(x)) 在每个区间上无界

则由闭区间套定理，(exists!\,cin[a_n,b_n],forall ninmathbb{N}) .

由条件 (2) 知 (exists n>0) 使得 ([a_n,b_n] subset U(c,delta)) 即 (f(x)) 无界。由连续函数的局部有界性，(exists\, delta>0) ，使得当 (forall xin U(c,delta)) 时，(f(x)) 有界。

这与条件 (3) 矛盾

证毕

3.3.2 最值定理

证明：

由连续函数的有界性定理，(f(x)) 一定有界。

记 (M=mathop{sup}limits_{xin[a,b]}{f(x)}) ， (m=mathop{inf}limits_{xin[a,b]} { f(x) })
由上确界的定义，可得上确界是 (f(x)) 的一个聚点。则存在数列 ({ x_n }) 使得 (mathop{lim}limits_{n oinfty} f(x_n) = M) 。


下面证明存在一个数 (xi) 使得 (f(xi) = M) :

设 ({ x_{n_k} }) 是 ({ x_n }) 的子列，因为 ({ x_{n_k} }) 有界，则 ({ x_{n_k} }) 必收敛，设收敛于 (x_0) 。

由 (Henie) 定理： (mathop{lim}limits_{k o infty} f(x_{n_k}) = M)

因为 (f(x)) 连续，所以有 (mathop{lim}limits_{k o infty} f(x_{n_k}) = f(x_0))

故有 (f(x_0) = M) 即可以取到最大值。

同理可证最小值

证毕。

定理3.3.3：介值定理

证明：

证： (m = M) 时，显然成立。

(m e M) 时，(exists \, x_1,x_2 in [a,b], \, f(x_1) = m, \, f(x_2) = M) 。显然当 (eta = m) 或 (M) 时成立。

假设 (x_1 < x_2)，当 (eta in (m,M)) 时，定义：(E = { x in [x_1,x_2]: f(x) > eta })
显然 (x_1 otin E) ，故 (x_1) 是 (E) 的下界
显然 (x_2 in E) ，故 (E) 非空
因此 (E) 一定存在下界。
记 (xi = inf\,E) ，则有 (x_1 le xi <x_2)
由连续函数的局部保号性知：(exists \, delta > 0, forall \, x in (x_1,x_1 + delta) ,f(x) <= eta)
设 (x_* in (x_1,x_1 + delta)) 因为 (xi) 是下界，故有 (xi ge x_* > x_1) 因此 (xi) 严格大于 (x_1)

下证 (f(xi) = eta) :
由 (E) 的定义，(f(xi) ge eta) 。
若 (f(xi) > eta) 则由 (f(x)) 在 (xi) 处连续可得：(exists \, delta > 0, forall \, x in (xi - delta,xi + delta) cap [a,b],f(x) > eta)
但因为 (xi) 为下界，故对于 (x in (xi - delta,xi),f(x) le eta) ，矛盾

证毕