4819: [Sdoi2017]新生舞会（分数规划）

4819: [Sdoi2017]新生舞会

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Description

学校组织了一次新生舞会，Cathy作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。有n个男生和n个女生参加舞会

买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。Cathy收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出

a[i][j] ，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时他们的喜悦程度。Cathy还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，

比如身高体重差别会不会太大，计算得出 b[i][j]，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时的不协调程度。当然，

还需要考虑很多其他问题。Cathy想先用一个程序通过a[i][j]和b[i][j]求出一种方案，再手动对方案进行微调。C

athy找到你，希望你帮她写那个程序。一个方案中有n对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是a'1,a'2,...,a'n，

假设每对舞伴的不协调程度分别是b'1,b'2,...,b'n。令

C=(a'1+a'2+...+a'n)/(b'1+b'2+...+b'n),Cathy希望C值最大。

Input

第一行一个整数n。

接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示a[i][j]。

接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示b[i][j]。

1<=n<=100,1<=a[i][j],b[i][j]<=10^4

Output

一行一个数，表示C的最大值。四舍五入保留6位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等

Sample Input

3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9

Sample Output

5.357143

分析

首先是分数规划，然后用费用流判断。

$c=frac{a_1+a_2+...+a_k}{b_1+b_2+...+b_k}$

二分c，如果c满足条件，那么$a_1+a_2+...+a_k geq c*(b_1+b_2+...+b_k)$

在转化一下$(a_1-c*b_1)+(a_2-c*b_2)...+(a_k-c*b_k) geq 0$

那么如果选i,j，他们的贡献就是a[i][j]-c*b[i][j]，建图跑最大费用流即可。

可以把贡献取负，然后跑最小流。

注意要开double的变量

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N = 210;
 8 const int INF = 1e9;
 9 const double eps = 1e-8;
10 
11 struct Edge{
12     int from,to,nxt,cap;double cost;
13 }e[100100];
14 int head[N],q[100100],pre[N];
15 bool vis[N];
16 int tot = 1,n,m,S,T;
17 int a[N][N],b[N][N];
18 double dis[N];
19 
20 void add_edge(int u,int v,int cap,double cost) {
21     e[++tot].from = u;e[tot].to = v;e[tot].cap = cap;e[tot].cost = cost;e[tot].nxt = head[u];head[u] = tot;
22     e[++tot].from = v;e[tot].to = u;e[tot].cap = 0;e[tot].cost = -cost;e[tot].nxt = head[v],head[v] = tot;
23 }
24 void Clear() {
25     tot = 1;
26     memset(head,0,sizeof(head));
27 }
28 bool spfa() {
29     for (int i=1; i<=T; ++i) 
30         dis[i] = INF,vis[i] = false;
31     dis[S] = 0;vis[S] = true;pre[S] = 0;
32     int L = 1,R = 0;
33     q[++R] = S;
34     while (L <= R) {
35         int u = q[L++];
36         for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
37             int v = e[i].to;
38             if (e[i].cap  && dis[v]-(dis[u]+e[i].cost)>=eps) {
39                 dis[v] = dis[u] + e[i].cost;
40                 pre[v] = i;
41                 if (!vis[v]) q[++R] = v,vis[v] = true;
42             }
43         }
44         vis[u] = false;
45     }
46     if (dis[T] == INF) return false;
47     return true;
48 }
49 double MincostMaxflow() { // 返回double 
50     double Mincost = 0; // double类型 
51     while (spfa()) {
52         int minflow = INF;
53         for (int i=T; i!=S; i=e[pre[i]].from) 
54             minflow = min(minflow,e[pre[i]].cap);
55         for (int i=T; i!=S; i=e[pre[i]].from) {
56             e[pre[i]].cap -= minflow;
57             e[pre[i] ^ 1].cap += minflow;
58         }
59         Mincost += minflow * dis[T];
60     }
61     return Mincost;
62 }
63 bool check(double x) {
64     Clear();
65     for (int i=1; i<=n; ++i) add_edge(S,i,1,0);
66     for (int i=1; i<=n; ++i) add_edge(i+n,T,1,0);
67     for (int i=1; i<=n; ++i) 
68         for (int j=1; j<=n; ++j) 
69             add_edge(i,j+n,1,-(a[i][j]-1.0*x*b[i][j]));
70     double ans = MincostMaxflow();
71     return ans <= 0;
72 }
73 int main () {
74     scanf("%d",&n);
75     for (int i=1; i<=n; ++i) 
76         for (int j=1; j<=n; ++j) 
77             scanf("%d",&a[i][j]);
78     for (int i=1; i<=n; ++i) 
79         for (int j=1; j<=n; ++j)
80             scanf("%d",&b[i][j]);
81     S = n*2+1;T = n*2+2;
82     double L = 0.0,R = 10000.0,ans;
83     while (R-L >= eps) {
84         double mid = (L + R) / 2;
85         if (check(mid)) ans = mid,L = mid;
86         else R = mid;
87     }
88     printf("%.6lf",ans);
89     return 0;
90 }