4518: [Sdoi2016]征途

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思路：

　　斜率优化dp。

　　$ans= m^2 sum_{i=1}^m frac{(x_i-frac{sum}{m})^2}{m}$

　　$x_i$为第i天走的路程。

　　化简后$ans = msum_{i=1}^{m}x_i^2-sum^2$

　　那么ans也就是与$x_i^2$有关。所以求出最小的$x_i^2$的和就好。

　　首先设f[i][j]为到第i条路径，分成了j天的最小的$x_i$^2平方和。那么有$f[i][j] = min{f[k][j-1]+(s[i]-s[k])^2}   k=1,2...i-1$

　　然后把后面的平方拆开，发现可以用斜率优化。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 5010;
int s[N],q[N],f[N],g[N];
int L,R;

inline int read() {
    int x = 0,f = 1;char ch=getchar();
    for (; ch<'0'||ch>'9'; ch=getchar()) if(ch=='-')f=-1;
    for (; ch>='0'&&ch<='9'; ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
double slope(int x,int y) {
    return 1.0*(f[x]-f[y]+s[x]*s[x]-s[y]*s[y]) / (1.0*(s[x]-s[y]));
}
int main() {
    int n = read(),m = read();
    for (int a,i=1; i<=n; ++i) {
        s[i] = read();s[i] += s[i-1];
    }
    for (int i=0; i<=n; ++i) f[i] = 1e9;
    f[0] = 0;
    for (int i=1; i<=m; ++i) {
        L = 1,R = 1;q[1] = 0;
        for (int j=1; j<=n; ++j) {
            while (L < R && slope(q[L],q[L+1]) < 2.0*s[j]) L++;
            int k = q[L];
            g[j] = f[k] + (s[j]-s[k])*(s[j]-s[k]);
            while (L < R && slope(q[R-1],q[R]) > slope(q[R],j)) R--;
            q[++R] = j;
        }
        for (int j=1; j<=n; ++j) f[j] = g[j];
    }
    cout <<f[n]*m-s[n]*s[n];
    return 0;
}