2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数

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题意：

　　称一个1,2,...,N的排列$P_1,P_2...,P_n$是Magic的，当且仅当$2<=i<=N$时，$P_i>P_{i/2}$. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

　　虽然是中文题，但是想加上markdown。

思路：

　　好题！

　　lucas定理+dp。

　　题目要求大小为n的小根堆的方案数，（即给定的二叉树的父节点大于子节点）。

　　f[i] 表示以i为根的子树的方案数。siz[i]为大小，即所有的取值。（假设这个子树的取值是1~siz[i]）

　　f[i] = f[i*2] * f[i*2+1] * C(siz[i]-1,siz[i*2])。

　　f[i*2],f[i*2+1]是左右子树中的取值为1~siz的方案数，所以如果随机给这个子树siz个不同的数，同样是一组合法的方案。（给定的siz个数，可以映射到1~n上）。　　

　　所以总方案数就是，从所有的数中，选siz[ls]个，给左子树的方案数（剩下的自然就是给右子树）。首先根一定是1，在剩下的所有数中（siz[i]-1），给左孩子siz[i*2]个数。就是后面的式子。

 　　问题：代码19行加入后，wa?

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000100;

LL f[N],inv[N],dp[N],siz[N],t[N],p;
int n,mx;

void init() {
    f[0] = f[1] = inv[0] = inv[1] = t[0] = t[1] = 1;
    for (int i=2; i<=mx; ++i) {
        f[i] = (f[i-1] * i) % p;
        inv[i] = (-(p/i)*inv[p%i]) % p;
        inv[i] = (inv[i] + p) % p;
        t[i] = t[i-1] * inv[i] % p; 
    //    if (inv[i] * i % p != 1) cout << 'a'; 
    }
}
LL Lucas(LL a,LL b) {
    if (a < b) return 0;
    if (a < p && b < p) 
        return f[a]*t[b]%p*t[a-b]%p;
    return Lucas(a/p,b/p)*Lucas(a%p,b%p)%p;
}
int main() {
    cin >> n >> p;
    mx = min(LL(n),p);
    init();
    for (int i=n; i>=1; --i) {
        siz[i] = siz[i<<1] + siz[i<<1|1] + 1;
        dp[i] = Lucas(siz[i]-1,siz[i<<1]);
        if ((i<<1)<=n) dp[i] = (dp[i] * dp[i<<1]) % p;
        if ((i<<1|1)<=n) dp[i] = (dp[i] * dp[i<<1|1]) % p; 
    }
    cout << dp[1];
    return 0;
}