斯特林数总结

第一类斯特林数

(n^2)递推式

(egin{bmatrix}n\kend{bmatrix})表示(n)个不同的人做(k)张圆桌的方案数(相对位置的变化算不同),那么有以下的式子:

[egin{bmatrix} n\k end{bmatrix} =egin{bmatrix} n-1\k-1 end{bmatrix}+(n-1) egin{bmatrix} n-1\k end{bmatrix} ]

每一张桌子都要有一个人

一个人的插入当且仅当有两种情况:

1. 自己新开一张桌子,所以方案是(egin{bmatrix}n-1\k-1end{bmatrix})
2. 和别人合并到一张桌子,此时这个人可以做到任何一个人的右手边,所以方案数是((n-1)egin{bmatrix}n-1\kend{bmatrix})

这个式子就解释清楚了.

第一类斯特林数的一些性质

[sum_{i=0}^negin{bmatrix} n\ i end{bmatrix} =n! ]

[x^{underline n}=sum_{i=0}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}-1^{n-i}x^i ]

[x^{overline n}=sum_{i=0}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i ]

证明可以用数学归纳法证明.戳这里看证明

快速求法

但是有的实际问题中我们并不需要用到所有的斯特林数,或者是题目钦定你求一行的第一类斯特林数,考虑生成函数.

我们知道(x)的(n)次上升幂是第一类斯特林数的生成函数,那么得到下面的式子:

[prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=sum_{i=0}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i ]

然后这个东西显然可以分治(FFT)的对吧(其实一开始我是不知道为什么显然的.)

你考虑我们令(f_i)表示(egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}),那么你把左右卷起来,显然得到的就是(l)到(r)区间的第一类斯特林数对吧.

然后初始你令(f_i=i),然后直接分治(FFT)就行了,注意要补(1)满足能够卷出来.

第二类斯特林数

(egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix})表示把(n)个不同的球放到(k)个黑暗的盒子里面的方案数(盒子里面的顺序不用管).

(n^2)递推式

那么根据这个定义可以写出来式子:

(egin{Bmatrix}n \ kend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1 \ k-1end{Bmatrix}+(k-1)egin{Bmatrix}n-1 \ kend{Bmatrix})

容斥式

[egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}=frac{1}{k!}sum_{i=0}^n(-1)^iinom{k}{i}(k-i)^n ]

这就是考虑有(i)个空盒,剩下的随便放.

快速求法

你把容斥的式子拆开:

[egin{align} egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}&=frac{1}{k!}sum_{i=0}^n(-1)^iinom{k}{i}(k-i)^n\ &=sum_{i=0}^nfrac{(-1)^i}{i!}frac{(k-i)^n}{(k-i)!} end{align} ]

这就是一个卷积的形式了,直接(NTT)即可.

一些性质

[n^m=sum_{i=0}^ni!inom{n}{i}egin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix} ]

根据几何意义理解一下这个式子:

(n^m)表示把(m)个不同球放到(n)个盒子里面的方案数(盒子可以为空),那么我们枚举有多少个盒子不是空的,这个时候(inom{n}{i})就出来了,然后相当于是把(m)个球放到这(i)个盒子里面.因为球是不同的,所以要带一个(i!).

自然数幂和:

[egin{align} sum_{i=1}^ni^k&=sum_{i=1}^nsum_{j=0}^ij!inom{i}{j}egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}\ &=sum_{j=0}^ij!egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}sum_{i=1}^ninom{i}{j}\ &=sum_{j=0}^ij!egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}inom{n+1}{j+1}\ &=sum_{j=0}^ij!egin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}frac{(n+1)!}{(j+1)!(n-j)!}\ &=sum_{j=0}^iegin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}frac{(n+1)^{underline {j-1}}}{j+1} end{align} ]

终于手推完了(QwQ).

题目

• [TJOI2016&HEOI2016]求和
• BZOJ5093 [Lydsy1711月赛]图的价值