浮点数的表示

浮点数，是指小数点在数据中的位置可以左右移动的数据。它通常被表示成：
　　　　N = M* R^E

　　这里的M(Mantissa)被称为浮点数的尾数，R(Radix)被称为阶码的基数，E(Exponent)被称为阶的阶码。计算机中一般规定R为2、8或16、是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。因此，要表示浮点数，一是要给出尾数M的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。二是要给出阶码，通常用整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。在计算机中,浮点数通常被表示成如下格式:
　　　

Ms

E

M

　　Ms是尾数的符号位,即浮点数的符号位，安排在最高一位；
　　E 是阶码，紧跟在符号位之后，占用m位，含阶码的一位符号；
　　M 是尾数，在低位部分，占用n位。

在 IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域，其中保存的值分别用于表示给定二进制浮点数中的符 号，指数和尾数。这样，通过尾数和可以调节的指数（所以称为"浮点"）就可以表达给定的数值了。具体的格式参见下面的图例：

在上面的图例中:

第一个域为符号域。其中 0 表示数值为正数，而 1 则表示负数。

第二个域为指数域，对应于我们之前介绍的二进制科学计数法中的指数部分。其中单精度数为 8 位，双精度数为 11 位。以单精度数为例，8 位的指数为可以表达 0 到 255 之间的 255 个指数值。但是，指数可以为正数，也可以为负数。为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精 度数的偏差值为 127，而双精度数的偏差值为 1023。比如，单精度的实际指数值 0 在指数域中将保存为 127；而保存在指数域中的 64 则表示实际的指数值 -63。 偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成 -127 到 128 之间（包含两端）。我们不久还将看到，实际的指数值 -127（保存为 全 0）以及 +128（保存为全 1）保留用作特殊值的处理。这样，实际可以表达的有效指数范围就在 -127 和 127 之间。

 

通过上面的格式，我们下面举例看下-12.5在计算机中存储的具体数据：
     Address+0     Address+1     Address+2     Address+3
Contents        0xC1                         0x48                           0x00                      0x00     接下来我们验证下上面的数据表示的到底是不是-12.5，从而也看下它的转换过程。
由于浮点数不是以直接格式存储，他有几部分组成，所以要转换浮点数，首先要把各部分的值分离出来。
     Address+0     Address+1     Address+2     Address+3
格式     SEEEEEEE     EMMMMMMM     MMMMMMMM     MMMMMMMM
二进制     11000001     01001000     00000000     00000000
16进制     C1                           48                            00                            00
       可见：
       S: 为1，是个负数。
       E:为 10000010   转为10进制为130，130-127=3，即实际指数部分为3.
       M:为 10010000000000000000000。 这里，在底数左边省略存储了一个1，使用 实际底数表示为 1.10010000000000000000000
       到此，我们吧三个部分的值都拎出来了，现在，我们通过指数部分E的值来调整底数部分M的值。调整方法为：如果指数E为负数，底数的小数点向左移，如果指数E为正数，底数的小数点向右移。小数点移动的位数由指数E的绝对值决定。
      这里，E为正3，使用向右移3为即得：
      1100.10000000000000000000
至次，这个结果就是12.5的二进制浮点数，将他换算成10进制数就看到12.5了，如何转换，看下面：
小数点左边的1100 表示为 (1 × 2³) + (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (0 × 2⁰), 其结果为 12 。
小数点右边的 .100… 表示为 (1 × 2^-1) + (0 × 2^-2) + (0 × 2^-3) + ... ，其结果为.5 。
以上二值的和为12.5， 由于S 为1，使用为负数，即-12.5 。
所以，16进制 0XC1480000 是浮点数 -12.5 。

以下为C/C++ code 查看计算机内存

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template<typename T>
void Bits(T const& e)
{
    int n(sizeof(T));
    char* ch=(char*)&e;
    for(int i(n-1),j;i>=0;--i)
    {
        for(j=7;j>=0;--j)
            ch[i]&(char(1)<<j) ? std::cout<<1 : std::cout<<0;
        std::cout<<'';<<"/n";
}
int main()
{
    float a=3.14;

} std::cout

    float b=-0.3;
    double c=0.5;

    Bits(a);

    Bits(b);
    Bits(c);
    return0;
}

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附：扩展参考文章：

深入浅出浮点数

原码、反码、补码、移码