Luogu P2619 [国家集训队2]Tree I

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给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。

这个算法叫..WQS二分/带权二分/DP凸优化

用来解决一种特定类型的问题：

有n个物品，选择每一个都会有相应的费用，需要求出强制选need个物品时的最大/最小费用。

适用范围：设$f(x)$为选$x$个物品的费用，$f(x)$为凸函数。

并不会证明 感性理解一下：

对于这道题，跑一遍最小生成树，如果选择的白边不够，就要增加白边的优先级。

在kruskal算法中，选择每条边的优先级即为这条边的权值（越小越好）。

那么，把每条白边的权值减少一个值x，再跑一边最小生成树。

如果选择的白边多了，就要减少白边的优先级。

用二分答案来枚举这个增加的值x。

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不知道为什么新开一个变量记录x会WA...

完整代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int n,m,k,x,y;
int cnt,sum;
int fa[maxn];

struct edge {
    int u,v,val,col;
    bool operator < (const edge & N)const {
        return val<N.val || (val==N.val && col<N.col);
    }
} e[maxn];

int getfa(int x) {
    if(fa[x] == x)return x;
    return fa[x] = getfa(fa[x]);
}

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        fa[i] = i;
}

void kruskal() {
    cnt = sum = 0;
    init();
    sort(e+1,e+m+1);
    int ecnt = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int uu = getfa(e[i].u);
        int vv = getfa(e[i].v);
        if(uu == vv) continue;
        fa[uu] = vv;
        sum += e[i].val;
        cnt += e[i].col^1;
        if(++ecnt == n-1)break;
    }
}

int BS() {
    int ans = 0;
    int l = -105,r = 105,mid;
    while(l <= r) {
        mid = (l+r)>>1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            if(e[i].col == 0) e[i].val += mid;
        kruskal();
        if(cnt >= k) {
            ans = sum-(mid*k);
            l = mid+1;
        } else r = mid-1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            if(e[i].col == 0) e[i].val -= mid;
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&e[i].val,&e[i].col);
        e[i].u = ++x;
        e[i].v = ++y;
    }
    printf("%d",BS());
    return 0;
}