树上两点期望距离

对于树上的节点(i)，设(d[i])为(i)的度数，(fa)为(i)的父亲，(sumlimits_{son} j)为(i)的儿子。

假设边权均为(1)。

分别考虑儿子到父亲、父亲到儿子的期望。

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设(F[i])表示儿子(i)到父亲的期望距离。

可以分为(2)种情况：

1. 直接到父亲。

   概率为(dfrac{1}{d[i]})，步数为(1)，期望为(dfrac{1}{d[i]})

2. 先到儿子(j)，再回到自己，再到父亲。

   • 走到儿子，步数为(1)；
   • 回到自己，步数为(F[j])；
   • 走到父亲，步数为(F[i])。

   概率为(dfrac{sumlimits_{son}}{d[i]})，步数为(1+F[j]+F[i])，期望为(dfrac{sumlimits_{son}{(1+F[j]+F[i])}}{d[i]})

综上，

(F[i] = dfrac{1+sumlimits_{son}{(1+F[j]+F[i])}}{d[i]})

移项可得：

(F[i] = d[i] + sumlimits_{son} F[j])

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设(G[i])表示父亲到儿子(i)的期望距离。

可以分为(3)种情况：

1. 直接到该儿子。

   概率为(dfrac{1}{d[fa]})，步数为(1)，期望为(dfrac{1}{d[fa]})

2. 先到父亲，再回到自己，再到该儿子。

   • 走到父亲，步数为(1)；
   • 回到自己，步数为(G[fa])；
   • 走到该儿子，步数为(G[i])。

   概率为(dfrac{1}{d[fa]})，步数为(1+G[fa]+G[i])，期望为(dfrac{1+G[fa]+G[i]}{d[fa]})

3. 先到另一个儿子，再回到自己，再到该儿子。

   • 走到另一个儿子，步数为(1)；

   • 回到自己，步数为(F[j])；

   • 走到该儿子，步数为(G[i])。

   概率为(dfrac{sumlimits_{son ot=i}}{d[fa]})，步数为(1+F[j]+G[i])，期望为(dfrac{sumlimits_{son ot=i}(1+F[j]+G[i])}{d[fa]})

综上，

(G[i] = dfrac{1+(1+G[fa]+G[i])+sumlimits_{son ot=i}(1+F[j]+G[i])}{d[fa]})

移项可得：

(G[i] = G[fa]+d[fa]+sumlimits_{son ot=i}F[j])

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将路径(u ightarrow v)拆成(u ightarrow LCA)，(LCA ightarrow v)，

路径(u ightarrow LCA)为儿子到父亲，路径(LCA ightarrow v)为父亲到儿子。

所以，答案即为：

$sumlimits_{u ightarrow LCA}F[i] + sumlimits_{LCA ightarrow v}G[i] $

其中(F[叶子节点]=1)，(G[根节点]=1)

用树上前缀和维护即可。

(ans = F[u]+G[v]-F[LCA]+G[LCA])