[一本通学习笔记] KMP算法

KMP算法

对于串s[1..n]，我们定义fail[i]表示以串s[1..i]的最长公共真前后缀。

我们首先考虑对于模式串p，如何计算出它的fail数组。定义fail[0]=-1。

• 根据“真前后缀”的条件，容易得到fail[1]=0
• 对于任意的i>1，显然在s[fail[i-1]+1]==s[i]的时候，我们有fail[i]=fail[i-1]
• 如果s[fail[i-1]+1]!=s[i]，那么我们需要去尝试s[fail[fail[i-1]]+1]是否与s[i]相等，否则再继续下去。

这是因为我们最终要找的是s[1..i]的最长公共前后缀，如果它不是由s[1..i-1]的最长公共前后缀扩增而来，那么它一定是由s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀扩增而来。毕竟，最长公共前后缀包含了若干个公共前后缀。即s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀也是s[1..i-1]的一个公共前后缀，虽然它未必最长。

// Build fail array for pattern string
    for(int i=2;i<=m;i++) {
        fail[i]=fail[i-1];
        while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
        if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
    }
　　fail[0]=-1;

预处理完毕后，匹配过程与其大同小异。

我们需要定义两个指针i,j，指向当前希望要匹配的两个字符。

如果s[i]!=p[j]，则需要将模式串向右滑移，即j=fail[j-1]+1。当然如果j=0了，则重设j=1，并将模式串起点向右移动一位。

如果s[i]==p[j]，当模式串没有匹配完全即j<m时，将两个指针同时向右移动即可。如果匹配完了，则报告一个结果，并将模式串按j=fail[j-1]+1进行滑移，以便于进行下一次匹配。

for(int i=1,j=1;i<=n;) {
        if(s[i]==p[j]) {
            if(j<m) ++i,++j;
            else {
                cout<<i-m+1<<endl;
                j=fail[j-1]+1;
            }
        }
        else {
            j=fail[j-1]+1;
            if(j<=0) j=1,i++;
        }
    }

算法总体复杂度O(n+m)。

完整模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[1000005],p[1000005];
int n,m,fail[1000005];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>s+1>>p+1;
    n=strlen(s+1); m=strlen(p+1);
    // Build fail array for pattern string
    for(int i=2;i<=m;i++) {
        fail[i]=fail[i-1];
        while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
        if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
    }

    fail[0]=-1;
    for(int i=1,j=1;i<=n;) {
        if(s[i]==p[j]) {
            if(j<m) ++i,++j;
            else {
                cout<<i-m+1<<endl;
                j=fail[j-1]+1;
            }
        }
        else {
            j=fail[j-1]+1;
            if(j<=0) j=1,i++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) cout<<(fail[i]<0?0:fail[i])<<" ";
    cout<<endl;
}

#10046. 「一本通 2.2 练习 2」OKR-Periods of Words

容易发现这里我们要的其实是每个前缀减去最短的Border。类似并查集一样路径压缩一下即可。需要注意一些细节防止死循环。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[1000005], p[1000005];
int n, m, fail[1000005];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> m;
    cin >> p + 1;
    // Build fail array for pattern string
    long long ans = 0;
    fail[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        fail[i] = fail[i - 1];
        while (p[fail[i] + 1] - p[i] && fail[i]) fail[i] = fail[fail[i]];
        if (p[fail[i] + 1] == p[i])
            ++fail[i];
    }
    fail[0] = -1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int j = i;
        while (fail[j] > 0) j = fail[j];
        ans += i - j;
        if (fail[i])
            fail[i] = j;
    }
    cout << ans << endl;
}

 

#10047. 「一本通 2.2 练习 3」似乎在梦中见过的样子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[100005],p[100005];
int n,m,k,fail[100005],f[100005];
long long ans = 0;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>p+1>>k;
    m=strlen(p+1);
    while(m) {
        for(int i=2;i<=m;i++) {
            fail[i]=fail[i-1];
            while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
            if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
            if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]];
            else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i];
            else f[i]=0;
            if(f[i] && (f[i]*2)<i) ++ans;
        }
        --m;
        for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i+1];
        memset(fail,0,sizeof fail);
        memset(f,0,sizeof f);
    }
    cout<<ans<<endl;
}

#10048. 「一本通 2.2 练习 4」Censoring

搞个栈记录输出，顺便存下每个被输出点匹配到模式串的哪个位置

这样如果匹配就弹掉栈顶几个，并读取新栈顶原先匹配到了哪个位置，接下去匹配即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[1000005],p[1000005];
int n,m,fail[1000005],sta[1000005],staj[1000005],top;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>s+1>>p+1;

    n=strlen(s+1); m=strlen(p+1);
    for(int i=2;i<=m;i++) {
        fail[i]=fail[i-1];
        while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
        if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
    }

    fail[0]=-1;
    for(int i=1,j=1;i<=n;) {
        if(s[i]==p[j]) {
            if(j<m) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,++i,++j;
            else top-=m-1,j=staj[top]+1,++i;
        }
        else {
            j=fail[j-1]+1;
            if(j<=0) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,i++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=top;i++) cout<<s[sta[i]];
    cout<<endl;
}

 

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
char s[100005],p[100005];int n,m,k,fail[100005],f[100005];long long ans = 0;
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>p+1>>k;m=strlen(p+1);while(m) {        for(int i=2;i<=m;i++) {            fail[i]=fail[i-1];            while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];            if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];            if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]];            else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i];            else f[i]=0;            if(f[i] && (f[i]*2)<i) ++ans;        }        --m;        for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i+1];        memset(fail,0,sizeof fail);        memset(f,0,sizeof f);}cout<<ans<<endl;}