Wannafly Winter Camp 2020 Day 6J K重排列

求 (K) 是多少个 (n) 元置换的周期。(Tleq 100, nleq 50, K leq 10^{18})

Solution

置换可以被试做若干个环组成的有向图，于是考虑 dp，设 (f[i]) 表示 (n=i) 时的答案，则

[f[i]=sum_{j=1}^n [j|K] cdot C_{i-1}^{j-1} cdot (j-1)!cdot f[i-j] ]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 998244353;
const int N = 105;
int t,n,k,f[N],c[N][N],frac[N];

signed main() {
    frac[0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++) frac[i]=(frac[i-1]*i)%mod;
    for(int i=0;i<=100;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++) {
        for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    cin>>t;
    while(t--) {
        cin>>n>>k;
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;j<=i;j++) {
                if(k%j==0) {
                    f[i]+=c[i-1][j-1]*frac[j-1]%mod*f[i-j]%mod;
                    f[i]%=mod;
                }
            }
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }
}