[CF938C] Constructing Tests

Description

给定两个正整数 (n,m(m≤n))，对于一个 (n) 阶 (0-1) 方阵， 其任意 (m) 阶子方阵中至少有一个元素 (“0”)，则可以求解这个方阵中的 (“1”) 的最大数目。现求解这个问题的逆向问题：已知这个最大数目为 (X)，求相应的 (n) 和 (m)。

Solution

设法让每个 (0) 被充分地利用

于是 (n,m,x) 满足关系

[n^2-lfloorfrac n m floor^2=x ]

令 (t=lfloor n/m floor)，则

[(n+t)(n-t)=x ]

枚举 (x) 的所有分解 (x=ab)，那么 (x) 可以分解为平方差当且仅当 (a,b) 的奇偶性相同，此时

[n=frac{a+b} 2, t=frac{a-b} 2 ]

如果我们找到了这个分解 (n,t)，则只需要存在一个 (m) 使得 (t=lfloor n/m floor) 即可，我们只需要假设 (m=n/t) 判断一下是否可行即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
int t,x;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>t;
    while(t--) {
        cin>>x;
        if(x==0) {
            cout<<1<<" "<<1<<endl;
        }
        else if(x==1) {
            cout<<-1<<endl;
        }
        else {
            for(int a=1;a*a<x;a++) {
                int b=x/a;
                if(a*b!=x) continue;
                if((a^b)&1) continue;
                int n=(a+b)/2,t=(b-a)/2;
                int m=n/t;
                if(t==n/m) {
                    cout<<n<<" "<<m<<endl;
                    goto ok;
                }
            }
            cout<<-1<<endl;
            ok:cout<<"";
        }
    }
}