[CF1389D] Segment Intersections

Description

有 (n) 对线段，初态下每对的第一条都是 ([l_1,r_1])，第二条都是 ([l_2,r_2])。定义总交集长度为每对线段的交集长度之和。可以花费代价 (1) 来延长一条线段，往左或往右延伸 (1) 个单位。求使得总交集长度到达 (k le 10^9) 的最小代价。

Solution

对于一对线段 ([l_1,r_1],[l_2,r_2])，称 ([min(l_1,r_1), max(l_2,r_2)]) 为这个线段对的边界线段。若 ([l_1,r_1] igcup [l_2,r_2] = [min(l_1,r_1), max(l_2,r_2)])，则称这个线段对是连续的。

考虑一个线段对与它的边界线段之间的关系，显然线段对的实际长度和与它的边界线段的长度之间存在一个差值，如果相交则这个差值为正，相离则这个差值为负。

将一个线段对通过最小的步数操作，使得它的并集等于它的边界线段，这个过程称为填满一个线段。

我们暴力枚举要填满 (i) 个线段对，这时若我们只在这些被选择填满的线段对上操作就可以完成目标，花费的代价是 (k-id)，其中 (d) 是上述的差值；否则，在 (k-id) 之外，我们还需要额外花费 (k-is) 的代价，其中 (s) 的边界线段的长度。判定是否需要后者的条件就是 (k-is) 是否为正。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n,k,l1,l2,r1,r2,d,s,ans=1e18;
        cin>>n>>k>>l1>>r1>>l2>>r2;
        s=max(r1,r2)-min(l1,l2); 
        d=min(r1,r2)-max(l1,l2);  
        for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,k-i*d+max(0ll,k-i*s));
        cout<<max(0ll,ans)<<endl;
    }
}