[CF1334E] Divisor Paths

Description

给定一个数 (D le 10^{15})，对于所有 (D) 的因数作为结点，构造无向图，如果两个点 (x>y) 满足 (x/y) 是一个质数，那么我们就在 (x,y) 之间连一条边，边权等于 (x) 有而 (y) 没有的因子的个数。给定 (q le 3 imes 10^5) 个询问，每次给定两个点 (u,v)，要求回答这张图上 (u,v) 的最短路径的条数。

Solution

图上两个点 (x,y) 如果满足 (x | y)，那么 (x,y) 之间的距离就是 (d(y)-d(x))，其中 (d(x)) 表示 (x) 的因子个数，并且最短路的数量就是 (y/x) 的所有质因子构成的多重集合的排列数目（这非常类似于一个把质因子一个个塞进去的过程）。

因此 (p,q) 间的最短路一定会经过 ((p,q))，并且可以拆成 (p o (p,q) o q) 两段，最短路长度相加，最短路数量相乘。

于是所求即为 (P(p/(p,q)) imes P(q/(p,q)))，瓶颈在于 (P) 的计算即质因子分解。

考虑到这里出现的所有质因子都是 (D) 的质因子，而 (D) 的质因子显然不会超过 (O(log D)) 种，因此暴力枚举即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int mod = 998244353;
const int N = 1000005;
int D,q,fac[N],ifac[N];

int qpow(int p,int q)
{
    return (q&1?p:1) * (q?qpow(p*p%mod,q/2):1) % mod;
}

int inv(int p)
{
    return qpow(p,mod-2);
}

vector <int> facs;

void Prefac(int x)
{
    int lim=sqrt(x+0.5), t=x;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
    {
        if(t && t%i==0) 
        {
            facs.push_back(i);
            t/=i;
            while(t && i>1 && t%i==0) t/=i;
        }
    }
    if(facs.size() && facs.back()!=t && t) facs.push_back(t);
}

vector <pair<int,int>> Factor(int x)
{
    vector <pair<int,int>> ans;

    for(int i:facs)
    {
        if(i==1) continue;
        int cnt=0;
        while(x && x%i==0) 
        {
            ++cnt;
            x/=i;
        }
        if(cnt)
        {
            ans.push_back({i,cnt});
        }
    }
    
    // for(auto i:ans) cout<<i.first<<","<<i.second<<"  ";
    // cout<<endl;
    return ans;
}

int Perm(vector <pair<int,int>> vec)
{
    int ans = 1;
    int sum = 0;
    for(auto pr:vec)
    {
        int num=pr.first, cnt=pr.second;
        sum += cnt;
    }
    // cout<<"add "<<sum<<endl;
    ans = fac[sum];
    for(auto pr:vec)
    {
        int num=pr.first, cnt=pr.second;
        ans *= ifac[cnt];
        // cout<<"del "<<num<<" "<<cnt<<endl;
        ans %= mod;
    }
    return ans;
}

int Calc(int x)
{
    vector <pair<int,int>> vecfac = Factor(x);
    int ans = Perm(vecfac);
    return ans;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>D;
    cin>>q;

    Prefac(D);

    // for(int i:facs) cout<<i<<",";
    // cout<<endl;

    fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        ifac[i]=inv(fac[i]);
    }

    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        int g=__gcd(x,y);
        int ans1=Calc(x/g);
        int ans2=Calc(y/g);
        cout<<ans1*ans2%mod<<endl;
    }    
}

/*
874918473783561
1
1 874918473783561
*/