[CF1468J] Road Reform

[CF1468J] Road Reform - 最小生成树

Description

给定无向带权图和参数 k，第 i 条边权值为 si，求一棵生成树，并可以对树上边进行修改，每次修改使得边权 +1 或者 -1，使得边权最大值 =k，求最小操作数。

Solution

如果所有边权都小于等于 k，好办，选一条最大的，剩下的随便选

如果存在边权大于等于 k 的，小于 k 的部分中优先选大的（所有小于最大者都可以随便选），大于 k 的部分优先选小的，所以这里的关键是要确定小于 k 的部分中最大的是哪个，好在小于 k 的部分不用计入代价，所以可以先用小于 k 的部分判定连通性，如果已经连通，那么任意选择一条与 k 最接近的即可（不论它是比 k 大还是比 k 小，都不影响结果）；如果没有连通，那么从小到大加入若干条大于 k 的，使得图连通即可

简而言之，先将 <=k 的全部加入，如果连通了，那么从所有边中选择一个与 k 最接近的权值作为答案；如果没有连通，从 >k 的中 Kruskal 一下，和作为答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

void solve()
{
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    vector<tuple<int, int, int>> edges(m + 2), edges_large, edges_small;
    vector<int> values;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b, c};
        if (c > k)
            edges_large.push_back(edges[i]);
        else
            edges_small.push_back(edges[i]);
        values.push_back(c);
    }
    sort(values.begin(), values.end());
    vector<int> fa(n + 2);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fa[i] = i;
    function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
        return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
    };
    int tot = 1;
    function<void(int, int)> merge = [&](int x, int y) -> void {
        x = find(x);
        y = find(y);
        if (x != y)
            fa[x] = y, tot++;
    };
    for (auto [u, v, w] : edges_small)
        merge(u, v);
    int flag = tot == n;
    if (flag)
    {
        int i = lower_bound(values.begin(), values.end(), k) - values.begin();
        int j = i - 1;
        int ans = 1e18;
        if (i >= 0 && i < m)
            ans = min(ans, abs(k - values[i]));
        if (j >= 0 && j < m)
            ans = min(ans, abs(k - values[j]));
        cout << ans << endl;
    }
    else
    {
        int ans = 0;
        vector<pair<int, pair<int, int>>> ve;
        for (auto [x, y, z] : edges_large)
            ve.push_back({z, {x, y}});
        sort(ve.begin(), ve.end());
        for (int i = 0; i < ve.size(); i++)
        {
            auto [w, pr] = ve[i];
            auto [u, v] = pr;
            if (find(u) != find(v))
                merge(u, v), ans += w - k;
            if (tot == n)
                break;
        }
        cout << ans << endl;
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        solve();
    }
}