[CF1477A] Nezzar and Board

[CF1477A] Nezzar and Board - 结论,裴蜀定理

Description

原本黑板上写着 (n) 个数，先在每次操作可以选取其中两个数 (x,y)，并写上 (2x-y) 而选取的数不会消失。问最终能否在黑板上写下 (k)。

Solution

手玩发现，通过不断地 2x-y，恰好可以凑出所有系数和为 1 的形式

相当于是随便选一个数，加上任意一个系数和为 0 的形式

差分一下，(d_i = a_{i+1} - a_i)，那么 (d_1,...,d_{n-1}) 的任意线性组合，恰好可以得到上述所求

而任意线性组合能否得到一个数，根据裴蜀定理，我们只需要检查是否存在 i 使得 (k-a_i) 是 gcd 的倍数即可

注意到我们可以通过 d 组合把一个数换为另一个数，所以 i 的选取其实是任意的，选取任何一个来检查即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t;
    cin >> t;

    while (t--)
    {
        int n, k;
        cin >> n >> k;

        vector<int> a(n + 2);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];

        int g = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            g = __gcd(g, a[i] - a[i - 1]);

        cout << ((k - a[1]) % g == 0 ? "YES" : "NO") << endl;
    }
}