组合数学常用公式总结-更新中

• 小白整理，有误请大佬斧正

排列组合

排列

1. 无其他限制下，从n个物体种选择r个出来的所有排列情况为(A(^r_n)=frac{n!}{(n-r)!}) r>n时(A(^r_n)=0)

2. 从n个物体种选择r个的圆排列为(P(^r_n)=frac{A(^r_n)}{r})

多重集的排列

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(infty)种（无限多重集），在这n种中取r个的排列为(n^r)

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(a_1,a_2,a_3...a_n)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当(min({a_1,a_2,...a_n})>=r)时，排列数依然为(n^r)

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(a_1,a_2,a_3...a_n)种（有限多重集）,其全排列为(frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)!}{{a_1}!{a_2}!...{a_n}!})

4. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(a_1,a_2,a_3...a_n)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当(min({a_1,a_2,...a_n})<r)时,排列为(sum_{k_1+k_2+...+k_n=r}frac{r!}{{k_1}!{k_2}!...{k_n}!})

组合

1. 无限制下，从n个物体选择r个物体的组合为(C(n,r)=frac{n!}{r!(n-r)!}), 亦写作((^n_r)=frac{n!}{r!(n-r)!}), r>n时，(C(n,r)=0)

多重集的组合

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(infty)种（无限多重集），在这n种中取r个的组合为((^{n+r-1}_{r})=(^{n+r-1}_{n-1}))

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(a_1,a_2,a_3...a_n)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当(min({a_1,a_2,...a_n})>=r)时，组合数为((^{n+r-1}_{r})=(^{n+r-1}_{n-1}))

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有(a_1,a_2,a_3...a_n)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当(min({a_1,a_2,...a_n})<r)时,组合为$$

组合数公式

1. (C(_n^k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)),杨辉恒等式
2. (C(_n^k)=C(n,n-k)),对称性
3. (sum_{i=0}^nC(n,i)=2^n),单行和
4. (sum_{i=0}^nC(n,i)^2=C(2n,n)),单行平方和
5. (sum_{i=0}^nC(_{k+i}^k)=C(_{n+k+1}^{k+1})),斜(60^circ)行和=反斜下一行对应值
6. (f(n)=egin{cases} sum_{i=0}^{n/2-1}C(n/2+i,2i+1)& ext nequiv 0 mod 2\ sum_{i=0}^{(n-1)/2}Cigg((n-1)/2+i,2iigg)& ext nequiv 1 mod 2 end{cases}) , (ig(30^circ)斜行和等于Fibonacci数列(ig))
7. (C(n,i)=frac{n-i+1}{i}C(n,i-1)), 递推式
8. (C(n,m))的奇偶性:n&m=m为奇，否则为偶（lucas定理推论）

二项式定理

• ((a+b)^n=sum_0^nC(_n^i)a^ib^{n-i})

鸽巢原理

• n+1只鸽子飞向n个鸽巢，一定存在两只鸽子飞向了同一个鸽巢

容斥原理

• 
  容斥原理的题常考虑反面

错排问题

1. (D_n=n!ig(1-frac{1}{1!}+frac{1}{2!}-frac{1}{3!}+...+(-1)^nfrac{1}{n!})
2. 递推式推导

考虑在(D_{n-1})中加入n来生成n个数的错排，数n可以与前面n-1个数任一交换即可，贡献为((n-1)D_{n-1})
考虑在有1..n-1的一个序列，我们直接加入n来生成n的错排，可以在n-1个数任选一个数与n交换位置，然后剩下的n-2个数进行错排，这样就生成了n的错排，贡献为((n-1)D_{n-2})
因此最终的递推式就是(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}))
(D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9...)

3. (D_n=nD_{n-1}+(-1)^n)

特殊计数序列

Fibonacci序列

1. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2},ngeq3,f_1=f_2=1)
2. (f_n=frac{1}{sqrt{5}}ig[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n-(frac{1-sqrt{5}}{2})^nig])
3. (f_nequiv 276601065(691504013^n-308495997^n)mod 10^9+9)，注意仅限模1e9+9的情况下。
4. (sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-1),前缀和公式
5. (f_1+f_3+...+f_{2n-1}=f_{2n}),奇数项前缀和公式
6. (f_2+f_4+..+f_{2n}=f_{2n+1}),偶数项前缀和公式
7. (sum_{i=1}^nf_i^2=f_nf_{n+1}),平方和公式
8. (f_n^2=(-1)^{n+1}+f_{n-1}f_{n+1})
9. (f_{2n}=f_n(f_{n+1}+f_{n-1}))
10. (f_n equiv 0mod pRightarrow f_{nk} equiv 0 mod p,mbox{k为正整数})
11. (gcd(f_n, f_m) = f_{gcd(n, m)})，
12. 对于质数P, f[n] % P 有循环节， 如果5是模P的二次剩余，则循环节长度是P - 1的因子， 否则是2(P + 1)的因子; 类Fibonacci也类似。
13. (f_n=sum_{i=0}^mC(n-1-i,i),m leq n-1-m)，杨辉三角斜(30^circ)度求和

catalan数

1. (C_n=sum_{k=0}^{n-1}C_nC_{n-k-1},n geq 2,C_0=C_1=1)
2. (C_0=1,C_1=1,C_2=2,C_3=5,C_4=14,C_5=42,C_6=132,C_7=429,C_8=1430,C_9=4852)...
3. (C_n=frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n-1)),注意组合数区分卡特兰数
4. (C_n=frac{4n-2}{n+1}C_{n-1})

用于栈进出序列，二叉树的种类枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数。。。

Stirling数

(Stirling估计式:n!simsqrt{2pi n}{(frac{n}{e})}^n)

第一类Stirling数

1. 正负,其绝对值的实际意义为n个元素的集合组成m个的圆排列的数目，((ngeq m))
2. 递推式：(S_u(n,m)=S_u(n-1,m)+(n-1)S_u(n-1,m-1))
3. 边界以及结论

(S_u(0,0)=1\S_u(n,0)=0\S_u(n,1)=1\S_u(n,n)=1\S_u(n,n-1)=C(n,2)\S_u(n,n-2)=2C(n,3)+3C(n,4)\sum_{i=0}^nS(n,i)=n!)

第二类Stirling数

1. n个元素组成拆成m个非空集合的方案数
2. 递推式：(S_2(n,m)=S_2(n-1,m-1)+mS_2(n-1,m))
3. 边界以及结论

(S_2(n,0)=0^n\S_2(n,1)=1\S_2(n,n)=1\S_2(n,2)=2^{n-1}-1\S_2(n,n-1)=C(n,2)\S_2(n,n-2=C(n,3)+3C(n,4)))

拆分数

1. 整数n拆成r个正整数之和为n的r拆分数，记作(P_r(n))
2. (P_1(n)=1,P_n(n)=1,P_{n-1}(n)=1,P_{n-2}(n)=2,P_{n-3}(n)=3)
3. (P_2(n)=iglceil{frac{n-1}{2}}ig ceil,n geq 2)
4. (P_r(n)=sum_{i=1}^r P_i(n-r))

装箱问题

• n个球放入r个盒子成为装箱问题

1. 相同球n和相同盒子r，(n geq r)

无空盒子 (P_r(n))
可以有空盒子 (sum_{i=1}^rP_i(n))

2. 相同球不同盒子

无空盒子 (C(n-1,r-1))
可以有空盒子 (C(n+r-1,r-1))

3. 不同球相同盒子

无空盒子 (S_2(n,r))
可以有空盒 (sum_{i=1}^rS_2(n,i))

4. 不同球不同盒子

无空盒子 (r!S_2(n,r))
可以有空盒子 (r^n)

生成函数

• ((1-x)^{-m}=sum_0^infty{x^i(^{m+i-1}_{m-1})})

burnside引理&polya定理

• 两者都是解决考虑旋转或是翻转等计数问题的理论

1. burnside引理

设(G={a_1,a_2,…a_g})是目标集([1,n])上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。 是在置换(a_k)的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类。若(G)将([1,n])划分成(l)个等价类，则：

[l=frac{1}{overline{|G|}}sum_{i=1}^gc_1(a_i) ]

(mbox{其中}c_1(a_i)mbox{代表}a_imbox{中包含的一阶循环(不动点)的个数})

2. polya定理

设(G)是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象，则不同的染色方案数为：

[frac{1}{overline{|G|}}sum_{i=1}^gm^{c(overline{p_i})}$$, 其中$G={overline{p_1},overline{p_2},...overline{p_g}}, c(overline{p_i})mbox{表示}overline{p_i}mbox{的循环节数(阶)}$]