洛谷 P1660 数位平方和 记忆化暴搜

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先来看看题意：

定义(S(x))为(x)各个数位上的数字的(k)次幂和（(k)给定）。

定义(h(x))为满足(h(x)leq min{x,h(s(x))})的最大值。

求(sum^r_{x=l} h(x) pmod {10^7+7})的值。

(1leq l,r leq 10^6,1leq k leq 6)

第一眼以为是一道数学题，看了几眼题面没看懂题意。

那么让我们把这个看不懂的(h(x))认真看看，其实就是要找到一个在不断的(x=s(x))过程中的最小的(x)，即(min{x,s(x),s(s(x))...})。最大值三个字没啥用，因为是唯一的值。

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考虑递归，思考边界在哪里。

在(k)给定的情况下，相同的(x)所计算出来的(s(x))是一定的。所以当我们递归到已经出现过的数值的时候，就没必要在继续下去了。

于是最终的思路就是不断的(x=s(x))，直到一个值出现第二次时，这条路上的最小值就是答案。

但是不太友善的数据范围让我有点慌，于是加了个小小的优化：预处理每一个数字的(k)次方。

然而..

（经过了几次试探(vis)数组的大小），被卡在了#10。

再看看数据范围，仿佛明白了什么。

同一个(s(x))可能会被多次用到，但同一个(h(x))不会。

那么对(s(x))记忆化。

然而现实又一次打败了我：我可怜的#10依然(TLE)。

有点慌了，跑去翻了翻题解，感觉没啥不同...

可问题在于：我的(get\_s)是这么写的：

int get_s(int x)
{
	if(s[x])return s[x];
	int cnt=0;
	while(x){cnt+=p[x%10];x/=10;}
	return s[x]=cnt;
}

看上去好像没有问题。

可细细看看最终的返回值，此时的(x)必定为(0)，而程序不会(get\_x(0))，这会导致记忆化失效。

芜湖！

int get_s(int x)
{
	if(s[x])return s[x];
	int cnt=0,a=x;
	while(x){cnt+=p[x%10];x/=10;}
	return s[a]=cnt;
}

略改，一发入魂。

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求(h(x))部分

int work(int x)
{
	int res=x,k=x;
	while(ap[k]!=x)
	{
		ap[k]=x;
		k=get_s(k);
		res=min(res,k);
	}
	return res;
}

((ap)即(vis)数组）

这样写可以避免每次数组的清空。意思应该也很轻松能理解。

整篇代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mod=1e7+7,ans=0;
int p[10];
int s[10000010];
int ap[10000010];
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int get_s(int x)
{
	if(s[x])return s[x];
	int cnt=0,a=x;
	while(x){cnt+=p[x%10];x/=10;}
	return s[a]=cnt;
}
int work(int x)
{
	int res=x,k=x;
	while(ap[k]!=x)
	{
		ap[k]=x;
		k=get_s(k);
		res=min(res,k);
	}
	return res;
}
int main()
{
	int k,l,r;
	scanf("%d%d%d",&k,&l,&r);
	for(int i=1;i<=9;i++)
		p[i]=pow(i,k);
	for(int i=l;i<=r;i++)
		(ans+=work(i))%=mod;
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}