120. Triangle

题目

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

思路

发现了一个很好的动态规划解题套路。

先从非常naive的角度看这个题：从三角形的顶开始向下走，你此时并不能确定在第二层选择哪一个数字，因为看起来大的那个数字也可能会指向一条数字和小的路径。所以每一个元素及每一个元素下层的邻居元素都要遍历。这不就是典型的backtracking问题么?

我们知道dp是backtracking的一种优化，主要解决了子问题重叠造成的时间浪费，那么当我们对一个问题的dp解法还没有想法的时候，先通过研究backtracking的递归树来看看能不能找到子问题重叠的情况。

以下面这个三角形为例

     [0],
    [1,2],
   [3,4,5],
  [6,7,8,9]

它的backtracking递归树：

已经能看出子树重复了，如果再三角形加一层会更加明显，能发现7、8这两个子树也有高度重复。

到这里就非常清晰了，题目中要求O(n) extra space，那么用bottom-up的dp，将每个节点到最底层的最短路径记录下来就可以了。

dp算法：

dp[row][i]: 第row层第i个元素到达底层所需的最短路径
转移方程：　dp[row][i] = triangle[i] + min(dp[row+1][i], dp[row+1][i+1])

此处用的是一个二维数组，按题中要求可压缩成一个一维数组，从底层向高层循环，每次都利用低层的数字算出高层的，然后覆盖数组中的值即可。

实现

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int N = triangle.size();
        int[] min = new int[N];
        List<Integer> lastRow = triangle.get(N - 1);
        for(int i = 0; i < N; i++)
            min[i] = lastRow.get(i);
        
        for(int row = N - 2; row >= 0; row--){
            List<Integer> currentRow = triangle.get(row);
            for(int i = 0; i < row + 1; i++){
                min[i] = currentRow.get(i) + Math.min(min[i], min[i+1]);
            }
        }
        return min[0];
    }

复杂度

时间复杂度 = O（三角形中数字数）

空间复杂度 = O（三角形层数）

总结

dp是一种“看别人的答案恍然大悟，但下一次还是不会做”的问题，因为dp的代码形式并不是重点，将会做dp和不会做dp问题的人划分开来的是他们的思路，即“怎么想到要用dp，如何得出状态转换方程”。

作为dp新手，一个思路是试着用backtracking解题并画出递归树，寻找递归树中重叠的子树，这样就抓住了dp问题的关键，状态转换方程会不请自来。