数论函数学习笔记之线性筛

其实主要是想发一下线性筛的板子，包括线性筛质数，约数个数，欧拉函数和莫比乌斯函数。
有些也会有一点简单的证明。


线性筛质数就不说啦。


然后加一个筛欧拉函数。
当(i)为质数的时候，自然(varphi(i) = i - 1)。
令(n = mp)，
当(p mid m)的时候，有(varphi(n) = varphi(m) * varphi(p) = varphi(m) * (p - 1))。
否则有(varphi(n) = varphi(m) * p)。


证明一下吧：
首先(p mid m)时，根据积性，(varphi(n) = varphi(m) * (p - 1))。
考虑另一种情况，
若(p mid m)，令(m = k * p ^ x)，这样保证了(k, p)互质。
所以

[egin{align} varphi(n) &= varphi(k) * varphi(p ^ {x + 1}) \ &= varphi(k) * p ^ x * (p - 1) \ end{align} ]

然后看等式右边：

[egin{align} varphi(m) * p &= varphi(k) * varphi(p ^ x) * p \ &= varphi(k) * p ^ {x - 1} * (p - 1) * p \ &= varphi(k) * p ^ x * (p - 1) end{align} ]

（也不知道这算不算证明）
另一种证明(varphi(n) = varphi(m) * p)的方法是把(varphi(n))和(varphi(m))相除，并用(varphi(n) = n * prod_{质数p|n} (1 - frac{1}{p}))打开，约分后就是(p)了。

至于筛莫比乌斯函数，就更简单了。
如果(n)为质数，则(mu(n) = -1)。
若(p mid m)，则(mu(n) = 0),
否则(mu(n) = - mu(m))。


最后是筛约数个数。
首先得知道这几个理论基础：
1.记(n = prod p _ i ^ {a_i})，那么(n)的约数个数为(prod (a_i + 1))，就是枚举每一个约数选几个。
2.线筛的时候，每一个数是被他的最小素因子筛去，如果(prime[j] mid i)，那么(prime[j])也是(i)的最小素因子。


我们令(y[n])表示(n)的约数个数，(d[n])表示(n)的最小素因子的个数。
那么，
1.如果(n)为质数，显然有(y[n] = 2, d[n] = 1)。
2.如果(n)为合数，令(n = i *prime[j])，
  （1）如果(prime[j] mid i)，那么(d[n] = 1, y[n] = y[i] * y[prime[j]] = y[i] * 2)（积性）。
  （2）如果(prime[j] mid i)，那么(n)和(i)的最小素因子都是(prime[j])，且(d[n] = d[i] + 1)。这时候算约数个数，把原来的除掉，乘以新的贡献即可：(y[n] = y[i] * frac{d[i] + 2}{d[i] + 1})。

In void init()
{
	mu[1] = ys[1] = phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
		if(!v[i]) 
		{
			prim[++pcnt] = i, v[i] = i;
			mu[i] = -1, phi[i] = i - 1;
			ys[i] = 2, d[i] = 1;		
		} 
		for(int j = 1; j <= pcnt && i * prim[j] < maxn; ++j)
        {
        	int k = i * prim[j];
            v[k] = prim[j];
            if(i % prim[j] == 0)
                mu[k] = 0;
                phi[k] = prim[j] * phi[i];
                ys[k] = ys[i] / (d[i] + 1) * (d[i] + 2);
                d[k] = d[i] + 1;
                break;
            }
            else
			{
				mu[k] = -mu[i];
				phi[k] = (prim[j] - 1) * phi[i];
				ys[k] = (ys[i] << 1), d[k] = 1;
			}
        }
	}
}