川大2021校赛K题题解

[没传送门]


简化题面：有一个长度为(n)的串(S)，(m)个询问，每次询问(k)个以(p_i)开始的后缀(suf_i (suf_i=S[p_i,n],i in [1,k]))，求这些后缀两两之间的最长公共前缀的长度的和。（(1leqslant n leqslant 5 imes 10^5,1 leqslant m leqslant 2000, sum k leqslant 5 imes 10^5)）


这道题算是一道比较板儿的科技题，会相应的算法，这题就能做出来了。


首先看这种前后缀的公共部分，基本能想到SAM，我们只要把串线翻转一下，就变成SAM能做的不同前缀的公共后缀了。
而不同前缀的公共后缀就对应着后缀链接树上这两个节点的lca。所以问题演化为：求(k)个点两两之间的lca的权值和。


这个用树形dp可以在单次(O(n))的时间复杂度下解决。
具体来说，就是动态的维护每一个节点子树中被标记的节点的个数。考虑节点(u)能成为多少个节点的lca：对于(u)的新的一棵子树(v)，他对答案的贡献就是(v)之前(u)的子树和(siz[u])乘以(siz[v])（注意，这个(siz)并不是子树大小，而是子树中被标记的点的个数）。
因为lca为(u)的子树中的点会在子树中被统计，lca为(u)的祖先的点会在(u)的祖先中统计，所以就能刚好不重不漏的统计出每个点成为lca的情况数了。


上述算法的单次查询复杂度为(O(n))，而总复杂度(O(nm))显然是不能接受的，观察到(sum k leqslant 5 imes 10^5)，就启发我们用虚树来优化上述的dp。
虚树能做到在多次询问的情况下，复杂度和询问的点数之和有关，所以复杂度降低成(O(klog n))（求lca用(O(log n))实现的）


比赛的时候卡在虚树的前一步，因为这东西早忘光了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e5 + 5;
const int max2 = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
const int N = 20;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
	freopen("ha.in", "r", stdin);
	freopen("ha.out", "w", stdout);
#endif
}

char s[maxn];
int n, m;

int a[max2], id[maxn];
struct Sam
{
	int tra[max2][maxs], link[max2], len[max2], cnt, las;
	In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}	
	In void insert(int c, int x)
	{
		int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
		len[now] = len[p] + 1, id[x] = now;
		while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
		if(p == -1) link[now] = 0;
		else
		{
			int q = tra[p][c];
			if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
			else
			{
				int clo = ++cnt;
				memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
				len[clo] = len[p] + 1;
				link[clo] = link[q]; link[q] = link[now] = clo;
				while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
			}
		}
		las = now;
	}
}S;

struct Edge
{
	int nxt, to;
}e[max2];
int head[max2], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y)
{
	e[++ecnt] = (Edge){head[x], y};
	head[x] = ecnt;
}

int dep[max2], fa[N + 2][max2], dfsx[max2], cnt = 0;;
In void dfs(int now, int _f)
{
	dfsx[now] = ++cnt;
	for(int i = 1; (1 << i) <= dep[now]; ++i)
		fa[i][now] = fa[i - 1][fa[i - 1][now]];
	forE(i, now, v)
	{
		if(v == _f) continue;
		dep[v] = dep[now] + 1;
		fa[0][v] = now; 
		dfs(v, now);
	}
}
In int lca(int x, int y)
{
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	for(int i = N; i >= 0; --i)
		if(dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) x = fa[i][x];
	if(x == y) return x;
	for(int i = N; i >= 0; --i)
		if(fa[i][x] ^ fa[i][y]) x = fa[i][x], y = fa[i][y];
	return fa[0][x];
}

int vir[max2];
int st[max2], top = 0;
int pa[max2];
bool cmp(const int& x, const int& y) {return dfsx[x] < dfsx[y];}
In void build(int& m)
{
	vir[++m] = 1; top = 0;
	sort(vir + 1, vir + m + 1, cmp);
	int tp = m;
	for(int i = 1; i <= tp; ++i)
	{
		int now = vir[i];
		if(!top) {pa[st[++top] = now] = 0; continue;}
		int Lca = lca(st[top], now);
		while(dep[st[top]] > dep[Lca])
		{
			if(dep[st[top - 1]] < dep[Lca]) pa[st[top]] = Lca;
			--top;
		}
		if(Lca != st[top])
		{
			vir[++m] = Lca;
			pa[Lca] = st[top];
			st[++top] = Lca;
		}
		pa[st[++top] = now] = Lca;
	}
	sort(vir + 2, vir + m + 1, cmp);
}

bool vis[max2];
int siz[max2];
In ll DP(int m)
{
	ll ret = 0;
	for(int i = m; i > 1; --i)
	{
		int now = vir[i], fa = pa[now];
		ret += 1LL * siz[fa] * siz[now] * a[fa];
		siz[fa] += siz[now];
	}
	return ret;
}

In int solve_init()
{
	int K = read(), ret = 0;
	for(int i = 1; i <= K; ++i) 
	{
		int x = id[n - read()] + 1;
		if(!vis[x]) vir[++ret] = x, siz[x] = vis[x] = 1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
//	MYFILE();
	Mem(head, -1), ecnt = -1;
	n = read(), m = read();
	scanf("%s", s); reverse(s, s + n);
	S.init();
	for(int i = 0; i < n; ++i) S.insert(s[i] - 'a', i);
	for(int i = 0; i <= S.cnt; ++i) addEdge(S.link[i] + 1, i + 1), a[i + 1] = S.len[i];
	dep[1] = 1, dfs(1, 0);
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		int K = solve_init();
		build(K);
		write(DP(K)), enter;
		for(int j = 1; j <= K; ++j) siz[vir[j]] = vis[vir[j]] = 0;
	}
	return 0;
}