单源最短路径
题目描述
如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。
接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。
输出格式：
一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）
输入输出样例
输入样例
输出样例
单源最短路（Single-Source Shortest Paths, SSSP）
先上Dijkstra算法
Dikstra 算法适用于边权为正的情况。主要想法是：将一个点走一步能到达的所有结点都放进队列里，并从队列里选择源点到该点路径最短的结点出队。这样就保证出队的结点一定是源点到该点的最短路。那么就能确定放进队列的每一个结点不仅要有该结点的编号，也要有源点到该结点的距离，所以可以用结构体来实现。队列中出队的必须是最小的，那么就可以用优先队列实现。所以开一个结构体优先队列。
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #include<queue> 7 #include<vector> 8 using namespace std; 9 const int maxn = 1e4 + 5; 10 const int INF = 2147483647; 11 struct Grap 12 { 13 int num, cost; //num点编号，cost到该点距离 14 bool operator < (const Grap& other)const 15 /*优先队列出队的原本是最大的，而我们期望的是最小的,所 16 以重载小于号，不仅要兼容结构体，还要使逻辑相反 */ 17 { 18 return cost > other.cost; 19 } 20 }; 21 vector<int>v[maxn]; 22 vector<int>c[maxn]; 23 int n, m, k, vis[maxn], dis[maxn]; 24 void dijkstra(int k) 25 { 26 for(int i = 0; i < maxn; ++i) 27 dis[i] = INF; 28 /*初始化设为无穷，同时也代表了源点无法到达的点 29 的最短路径长度就是无穷*/ 30 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 31 priority_queue<Grap>q; 32 q.push((Grap){k, 0}); 33 dis[k] = 0; 34 while(!q.empty()) 35 { 36 Grap now = q.top(); q.pop(); 37 int node = now.num; 38 if(vis[node]) continue; 39 /*如果该点已经出队，那到这个点的路径长度一定是最短路。为了防止 40 结点的重复扩展，如果发现新取出来的结点曾经被取出来过，应该直接 41 把它扔掉，所以开一个数组记录。 */ 42 vis[node] = 1; 43 for(int i = 0; i < v[node].size(); ++i) 44 { 45 if(dis[v[node][i]] > dis[node] + c[node][i]) 46 { 47 dis[v[node][i]] = dis[node] + c[node][i]; 48 49 q.push((Grap){v[node][i], dis[v[node][i]]}); 50 } 51 } 52 } 53 } 54 int main() 55 { 56 scanf("%d%d%d", &n, &m, &k); 57 for(int i = 0; i < m; ++i) 58 { 59 int a, b, cost; scanf("%d%d%d", &a, &b, &cost); 60 v[a].push_back(b); c[a].push_back(cost); //用vector建图 61 } 62 dijkstra(k); 63 for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d%s",dis[i], i == n ? "\n" : " "); 64 return 0; 65 }
再上一个spfa算法
spfa算法不仅可以求最短路，也可以判断一个图中存不存在负圈。在这个算法中，一个结点可能多次入队（出队），最多入队 n 次（结点个数次），而当超过 n 次时，就证明一定存在负圈。
1 #include <cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<queue> 5 #include<vector> 6 #include<cstring> 7 #include<algorithm> 8 using namespace std; 9 vector<int>v[10005], c[10005]; 10 const int INF = 2147483647; 11 int dis[10005]; 12 bool vis[10005]; 13 void spfa(int a) 14 { 15 for(int i = 0; i < 10005; ++i) dis[i] = INF; 16 dis[a] = 0; 17 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 18 queue<int>q;q.push(a); 19 while(!q.empty()) 20 { 21 int now = q.front();q.pop(); 22 vis[now] = 0; //出队后去除标记 23 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i) 24 { 25 if(dis[now] + c[now][i] < dis[v[now][i]]) 26 { 27 dis[v[now][i]] = dis[now] + c[now][i]; 28 if(!vis[v[now][i]]) 29 {q.push(v[now][i]); vis[v[now][i]] = 1;} 30 } 31 } 32 } 33 } 34 int main() 35 { 36 int n, m, s; 37 scanf("%d%d%d", &n, &m, &s); 38 for(int i = 0; i < m; ++i) 39 { 40 int f, g, w; 41 scanf("%d%d%d", &f, &g, &w); 42 v[f].push_back(g);c[f].push_back(w); 43 } 44 spfa(s); 45 for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", dis[i], i == n ? '\n' : ' '); 46 }