组合数的末十位

题目描述

求出C(n,r)的最后十位，其中0<r≤n≤30000，输出时不足十位数也按十位输出，此时高位用0表示。C(n,r)=n×(n-1)×……×(n-r+1)/(1×2×3×……×r)。

输入数据为两个以空格隔开的自然数n，r。

输入

一行两个整数

输出

一行，10位数字

样例输入

5 2

样例输出

0000000010

这道题我第一次看顿时就觉得变态至极，这不就是高精乘然后高精除以高精吗？！然后磨蹭了半天最后还是跪在高精除以高精了…………

最后看了下标程……………………

差点吐血…………………………

咳咳，首先这道题是组合数，那也就是说一定能整除，那我们能不能先去约分？这样就说不定避免了高精除了。

约分这回事，标程非常妙。首先他将分子全部分解质因数，然后将分母也不断分解质因数，分母分解的同时就可以用他的质因数来约分了。这样分母分解完后，剩下的质因数就全部是答案的了。

再具体讲一下，首先开一个数组a，记录质因数，a[i] 代表的就是质因数 i 的个数。因为 n <= 30000，所以 a 开30000就足够了。

对于分子，找到一个质因数 i 就 a[i]++。而且因为分子是一堆数的乘积，所以将每一个乘数分解就行，不要都乘起来再分解，那肯定会爆 long long。

对于分母，也是同理，只不过找到一个 i 就 a[i]--，这就相当于约分了，妙。

最后a数组中非0的 a[i] 的就是答案的质因数了。

不过还要说一下答案。理论上把 a 数组中剩下的都乘起来就行了（高精乘），但是别忘了我们只用输出后十位，所以保守一点算出后20位就行了，到了20就停。这样就大大节省了时间，而且存答案的数组只用开到21就足够了。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include<algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int max_size = 3e4 + 5;
const int maxn = 20; 
int a[max_size], b[maxn + 5];
int n, r;
void divide(int n)         //约分 
{
    for(int m = 2; m * m <= n; ++m)
    {
        while (n % m == 0 && n!= 0) 
        {
            n /= m;
            a[m]--;
        }
    }
    a[n]--;
}
void fenjie(int n)         //a[]记录分子质因数 
{
    for(int m = 2; m * m <= n; ++m)        
    {
        while(n % m == 0 && n != 0) 
        {
            n /= m;
            a[m]++;
        }
    }
    a[n]++;
}
void multi(int d)        //只是算出后20位的高精乘 
{
    int jinwei = 0;
    for(int i = 1; i <= maxn; ++i)     
    {
        b[i] = b[i] * d + jinwei;
        jinwei = b[i] / 10;
        b[i] %= 10;
    }
}
int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &r);
    for(int i = n - r + 1; i <= n; ++i) fenjie(i);         //将分子分解质因数 
    for(int j = r; j > 1; --j) divide(j);            //不断约分 
    b[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 29999; ++i)        //在a[]里剩的就是得数的所有质因子了，所以只要都乘起来就行了 
    {                                        //高精乘 
        while (a[i] > 0) 
        {
            multi(i);
            a[i]--;
        }
    }
    for(int i = 10; i >= 1; --i) printf("%d", b[i]);
    printf("
");
    return 0;
}    

妙，真的妙