最近又开始搞数论了……今天是欧拉函数，对于一些性质或定理，我可能会证明啥的
首先欧拉函数(varphi(n))指不超过(n)与(n)互素的数的个数。比如(varphi(8) = 4)
性质：对于(n = {p_1}^{a_1} * {p_2} ^ {a_2} * {p_3} ^ {a_3} ldots {p_s} ^ {a_s})，有(varphi(n) = varphi({p_1} ^ {a_1}) * varphi({p_2} ^ {a_2}) * varphi({p_3} ^ {a_3}) ldots varphi({p_s} ^ {a_s}))。
然后就是各种定理了：
以下的(p)都是素数！
定理1：(varphi(n) = n * (1 - frac{1}{p_1}) * (1 - frac{1}{p_2}) * (1 - frac{1}{p_3}) ldots (1 - frac{1}{p_s}))。
证明可以用容斥：设(p)是(n)的质因子，那么(1)$n$中$p$的倍数有$frac{n}{p}$个。同理$q$也是$n$的质因子，则$1$(n)中(q)的倍数有(frac{n}{q})个。去掉(frac{n}{p} + frac{n}{q})后，根据容斥原理，要再补回来(frac{n}{pq})个，那么(1)~(n)中不与(n)含有共同质因子(p)或(q)的数的个数为(n - frac{n}{p} - frac{n}{q} + frac{n}{pq} = n * (1 - frac{1}{p} - frac{1}{q} + frac{1}{pq}) = n * (1 - frac{1}{p}) * (1 - frac{1}{q}))。类似的，对于(n)的所有质因子使用上述容斥原理，可以得到定定理1.
定理1的推论：当(n)为奇数时，(varphi(2n) = varphi(n))。
定理2：(varphi(p) = p - 1)。
（显然成立）
定理3：(varphi(p^a) = p^a - p^{a - 1})。
证明代入到定理1即可。
定理4：积性：如果(n)和(m)互质，则(varphi(nm) = varphi(n) * varphi(m))。
证明也是用定理1。
这样也可以推出它的性质。
定理5：如果(n geqslant 2)，则(varphi(n))是偶数。
证明：(n = prod{{p_i}^{a_i}})，因为({p_i} ^ {a_i})互质，根据定理3和4可知，(varphi(n) = prod{{p_i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1}})。考虑(p_i)，如果(p_i = 2)，那么({p_i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1})显然是偶数；如果(p_i
eq 2)，则(p_i)一定是奇数，所以({p_i} ^ {a_i})和({p_i} ^ {a_i - 1})也都是奇数，相减就是偶数。偶数相乘，结果是偶数。证毕。
定理6：(sum_{d mid n}{varphi(d) = n})。
证明：首先令(f(x) = sum_{d mid x}{varphi(d)})，则(f(x))是一个积性函数（但这一步我不会证）。
那么(f(n) = prod{f({p_i} ^ {a_i})})。而(f({p_i} ^ {a_i}) = varphi({p_i} ^ 0) + varphi({p_i} ^ 1) + {varphi(p_i) ^ 2} ldots varphi({p_i} ^ {a_i}) = 1 + {p_i} - 1 + {p_i} ^ 2 - {p_i} + {p_i} ^ 3 - {p_i} ^ 2 ldots {p _i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1} = {p_i} ^ {a _i})。
所以(f(n) = prod{{p_i} ^ {a_i}} = n)
然后就引出了欧拉定理：
对于任何两个互质的正整数(a, m(m geqslant 2))有(a ^ {varphi(m)}equiv 1 (mod) (m))
（不会证）
当m是质数的时候，就有费马小定理：(a ^ {m - 1} equiv 1 (mod m))。最常见的应用是用费马小定理求逆元：(a^{-1} equiv a ^ {m - 2} (mod m))
小补充：最近又看了看欧拉定理，第一反应的公式是(varphi(n) = n - (a_1 + 1) * (a_2 + 1) * ldots * (a_m + 1))，也不知道我这个对不对，反正没看人用过这个……