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  • 计算两向量的欧式距离,余弦相似度

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    >>> import numpy
    >>> vec1=[[1,1,1],[2,2,2]]
    >>> vec2=[[2,2,2],[1,1,1]]
    >>> vec1=numpy.array(vec1)
    >>> vec2=numpy.array(vec2)
    >>> vec1
    array([[1, 1, 1],
           [2, 2, 2]])
    >>> vec2
    array([[2, 2, 2],
           [1, 1, 1]])
    >>> dist = numpy.sqrt(numpy.sum(numpy.square(vec1 - vec2)))  
    >>> dist
    2.4494897427831779
    >>> numpy.linalg.norm(vec1-vec2)
    2.4494897427831779


    余弦相似度:

    >>> vec1
    array([[1, 1, 1],
           [2, 2, 2]])
    >>> vec2
    array([[2, 2, 2],
           [1, 1, 1]])
    >>> num=float(numpy.sum(vec1*vec2))
    >>> num
    12.0
    >>> denom=numpy.linalg.norm(vec1)*numpy.linalg.norm(vec2)
    >>> cos=num/denom
    >>> denom
    15.000000000000002
    >>> cos
    0.79999999999999993
    >>> sim=0.5+0.5*cos
    >>> sim
    0.89999999999999991
    



    两者相同的地方,就是在机器学习中都可以用来计算相似度,但是两者的含义有很大差别,以我的理解就是:

    前者是看成坐标系中两个  ,来计算两点之间的 距离 ;

    后者是看成坐标系中两个 向量 ,来计算两向量之间的 夹角 。

    前者因为是  ,所以一般指 位置 上的差别,即 距离 ;

    后者因为是 向量 ,所以一般指 方向 上的差别,即所成 夹角 。

    如下图所示:


    数据项A和B在坐标图中当做点时,两者相似度为距离dist(A,B),可通过欧氏距离(也叫欧几里得距离)公式计算:


    当做向量时,两者相似度为cosθ,可通过余弦公式计算:


    假设||A||、||B||表示向量A、B的2范数,例如向量[1,2,3]的2范数为:

    √(1²+2²+3²) =  √14 

    numpy中提供了范数的计算工具: linalg.norm()

    所以计算cosθ起来非常方便(假定A、B均为列向量):

    num = float(A.T * B) #若为行向量则 A * B.T
    denom = linalg.norm(A) * linalg.norm(B)
    cos = num / denom #余弦值
    sim = 0.5 + 0.5 * cos #归一化

    因为有了linalg.norm(),欧氏距离公式实现起来更为方便:

    dist = linalg.norm(A - B)
    sim = 1.0 / (1.0 + dist) #归一化

    关于归一化:

    因为余弦值的范围是 [-1,+1] ,相似度计算时一般需要把值归一化到 [0,1],一般通过如下方式:

    sim = 0.5 + 0.5 * cosθ 
    若在欧氏距离公式中,取值范围会很大,一般通过如下方式归一化:

    sim = 1 / (1 +  dist ( X,Y ))


    说完了原理,简单扯下实际意义,举个栗子吧:

    例如某T恤从100块降到了50块(A(100,50)),某西装从1000块降到了500块(B(1000,500))

    那么T恤和西装都是降价了50%,两者的价格变动趋势一致,余弦相似度为最大值,即两者有很高的 变化趋势相似度

    但是从商品价格本身的角度来说,两者相差了好几百块的差距,欧氏距离较大,即两者有较低的 价格相似度

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9410014.html
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