随机变量统计独立性的相关证明

1. 和的期望和方差

两随机变量 x,z 统计独立，证明下列两个等式：

{E[x+z]=E[x]+E[z]var[x+z]=var[x]+var[z]

不失一般性地设二者均是连续型随机变量，则根据随机变量的期望和方差的计算公式有：

E[x+z]=∫(x+z)p(x,z)dxdz=∫(x+z)p(x)p(z)dxdz=∫xp(x)dx+∫zp(z)dz=E[x]+E[z]

进一步可计算二者和的方差：

var[x+z]===∫((x+z)−E[x+z])2p(x,z)dxdz∫(x−E[x])2p(x)dx+∫(z−E[z])2p(z)dzvar[x]+var[z]