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  • 对偶空间(dual linear space)

    1. 定义

    V 为定义在数域 F 上的向量空间,定义 V 上的线性函数是从 VF 的映射:f:VF,且满足 x,yV,kF 有:f(x+y)=f(x)+f(y),f(ka)=kf(a)

    现考虑 V 上所有线性函数(f:VF)的集合 V。对 f,gV,xV,kF,可以在 V 定义如下的标量乘法和加法(向量加法):

    • 标量乘法:g(kx)=kg(x)
    • 加法:(f+g)(x)=f(x)+g(x)(向量加法,是由定义出来的)

    在上述意义下,可以证明 V 是域 F 上的向量空间,称为 V 的对偶空间。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。

    2. 简单性质

    • covector:vectors in the dual space,对偶空间中的向量称为 covector(协向量)
      αV,vVα(v)R,covector 以 vector 为输入,以 scalar 为输出;

    • 从基的角度继续考察对偶空间,如果 V 表示一个有限维空间,则 dimV=dimV

      • 假定 V:{ei}i=1,,n(由基向量长成的线性空间),V={ei}i=1,,n,则有如下的定义:

      ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise

      对偶空间中的向量称为 covector,如性质一所说,covector 接受线性空间中的向量,输出一个标量;

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9422386.html
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